CHAPITRE V

De Ici recherche de V équation dune surface du second ordre , d après la loi connue de sa description.

i43. On a vu, dans le chapitre précédent, comment, par la discussion d’une équation du second degré entre trois variables , on découvre la surface individuelle qu elle représente : nous allons passer maintenant à la solution du problème inverse , en suivant la méthode même de Monge , c’est-à-dire que nous allons déterminer , d’après la loi connue de la description d’une surface , la relation qui existe entre les coordonnées de ses points;.

Solution relative aux surfaces cylindriques.

Toute droite qui , en parcourant une courbe quelconque, se meut parallèlement à elle-même, engendre une surface cylindrique ■ or , cette droite a pour équations

x = az + * > y z=. bz + P ,

et quelle que soit sa position à l’égard des plans coordonnés , les coefficiens a, b seront invariables (n° 119)? mais les quantités *, P, qui sont constantes pour une même position de la génératrice , varieut lorsque cette ligne passe d une position à une autre. Ces quantités, qui sont constantes ou variables ensemble , sont donc fonction l’une de 1 autre 7 c’est-à-dire que

le signe f étant celui d’une fonction quelconque ; mais les équations précédentes donnent

et

fi

donc

et = x — uz, 1

donc l’équation générale des surfaces cylindriques est y — bz =f (x — az ).

Lorsque l’on connaîtra analytiquement la nature de la courbe qui dirige le mouvement de la droite génératrice , la forme de la fonction f sera déterminée ; 'car, si F (* , y , z) = o , et F,-(x,<y,z) = o sont les équations de cette courbe (*), et que l’on y joigne les équations (i) , on aura ces quatre

x — az — a, y — bz—f(«),

lesquelles auront nécessairement lieu en même temps pour tous les points où la génératrice touchera la courbe donnée^ ou, ce qui revient au même, quelle que soit la valeur de a. Ainsi en éliminant x,y , z, entre ces quatre équations, et remettant dans le résultat pour et et/ ( et ) leurs valeurs , on aura l’équation de la surface cylindrique individuelle cherchée.

Supposons , pour exemple , que la droite génératrice parcoure la courbe d’intersection dedeux sphères dont les équations aux coordonnées rectangles sont

(*) Si trois clémens consecutifs d’une courbe ne soBt jama.s dans mi même plan, cette courbe est dite à double courbure: quelle que soit son espèce;, elle .peut toujours être considérée comme l'intersection de deux surfaces ; c’est pour cette, raison que l’on exprime la position d une courbe au moyen de deux équations h trois variables et qui ont lieu simultanément.

la première sphère ayant son centre à l’origine , et la seconde l’ayant sur l’axe des z , à une distance y de cette origine. Reprenant les équations de la génératrice censée donnée de direction , on aura

si l’on soustrait les équations (i)' l’une de l’autre , on obtiendra après lp développement ,

Faisant , pour simplifier , le second membre = m , on aura z = m, et substituant cette valeur dans la première équation (O, il viendra

Dans la même hypothèse les équations (2) se changeront en

x = et -f- am , y = /8 4 bm ;

ajoutant ensemble celles-ci , après les avoir élevées au êarré , on aura, en vertu de la précédente,

(* 4- amy 4- 03 + bmY = r* — m\

Enfin , éliminant ot et /3 au moyen de leurs valeurs (2) , et développant, on trouvera pour équation de la surface cylindrique individuelle cherchée,

*»4-jy*4“(a9"l-fr*)za — 2axz — ibyz-\- 2amx 4 *bmy

— 2ire(oa4“6a)z = ra — ; raa — (a* 4 “ ir^'

Si, dans cette équation, l’on fait z = m., la résultante

/ + y’ = r1 - /reft,

DR GÉOMÉTRIE. 3o5

Sera, sur le plan des xy , l’équation de la projection de l'intersection de la surface cylindrique et d’un plan mené perpendiculairement à l’axe des a , à une distance m de l’origine.

En faisant z = o on obtient la section principale faite par le plan des xy- Cette section a pour équation

x* -f y* -f- lamx -f- ibmy rr; r2 — m? — (aa -f- b*) m* ;

mais en transportant l’origine au centre, pour faire disparaître lœ premières puissances de x et de y, on a

comme ci-dessus.

Enfin , lorsque la droite génératrice est parallèle à la ligne des 2,onaa = i = o,et l’on retombe encore sur l’équation précédente , comme cela doit être.

Solution relative aux surfaces coniques.

i44. Si une droite passe constamment par le même point et glisse le long d’une courbe quelconque, elle engendrera une surface conique. Cela posé soient a bc les coordonnées fixes du sommet ; les équations de la génératrice seront

x — a = a {z — c), y — b = fi{z — c),

d’où l’on tire

Pour une même position de cette droite les coefficiens fi sont constans; mais ils varient lorsque la génératrice passe d’une position à une autre : ces coefficiens sont donc fonction l’un de l’autre : ainsi l’on a

fi =/(*),

f indiquant une fonction quelconque : par conséquent l’é-

5o6 propositions

quation générale des surfaces coniques est

Il résulte de là, et du numéro précédent, que si F (x,y ,z F, (.*}?> *) sont les équations de la courbe à double courbure qui dirige le mouvement de la génératrice , ces quatre équations

y, *) — <>, Ff (W>*) = °)

auront lieu en même temps pour tous les points communs à la génératrice et à la courbe; c’est-à-dire , quelle que soit la valeur de et. On parviendra donc, par l’élimination, a une équation unique qui sera celle de la surface conique individuelle demandée. Cherchons d’après ces principes Péquation du cône oblique à base circulaire.

Soient a, b , c les coordonnées du sommet du cône, dont la base horizontale est un cercle , et supposons que l’origine des axes soit au centre de ce cercle. Les deux projections de la droite génératrice sont en général, par ce qui précède ,

Quant à la courbe individuelle qui dirige le mouvement de cette génératrice , elle peut être considérée comme l’intersection d’une sphère et d’un plan : or, dans cette circonstance, la sphère et le plan, qui est celui des xy, ont pour équations .respectives

Ces quatre équations devant avoir lieu en même tempsr celles (A) deviendront, à cause de z — o , *

DK GÉOMÉTRIE.

d’où l’on tire aisément

x% — (a — ac)*> y = (6 — fie)2.

Substituantces valeurs dans la première équation (B) , qui se réduit à x* -f- y2 — r* , on aura

b2-\-fi2c * — nbcfi + -f- otV — -latte = r*;

et mettant ici pour/3 et a leurs valeurs (A), il viendra

Telle est l’équation cherchée de la surface conique.

Si le sommet du cône était dans le plan même des xx , on aurait b = o, et l’équation précédente deviendrait

c*y + ca jx — ay __ ^ (a r -—a)

(2 — c)a (z* — c)a ac Z — C •

Si, de plus, ce sommet était dans l’axe vertical des z, on aurait a = o, et par conséquent l’équation du cône droit à base circulaire serait

■ +-cV =r*

Lorsque la base du cône droit est une ellipse, on a a'y* -|- b2x 2 = a*b2 pour équation de cette base; et alorsl’équation précédente, dans laquelle on peui faire z — c — z', pour transporter l’origine des coordonnées au sommet du

cône, devient, en faisant d’ailleurs m = -,n=-,

C’est sous cette forme très simple qu’Euler, dans son* Introductio in analysin infinitorunij a présenté l’équation du cône à base elliptique. 4

raOTOSlTIONS

En plaçant de même l’origine des axes au sommet du cône oblique, l’équation (C) se simplifie et devient , à cause de *' = ■* — «, y ~y — bt z-z—c,

+ ca(x'a -\-y2) — iacx’ z — 2% V = o. (D) Nous aurons occasion , par la suite , de faire usage de ce résultat.

i45. Appliquons maintenant la théorie du n° 1 13 a la recherche de l’équation de la surface d’un cône droit situé d’une manière quelconque par rapport aux plans coordonhés rectangulaires : pour cet effet supposons que l’axe p de ce cône passant par l’origine des coordonnées , fasse avec les axes des x,y,z des angles dont les cosinus soient respectivement a, b, c\ le plan perpendiculaire à cet axe p, et qui pourra être considéré comme celui de la hase du cône , aura alors pour équation

p = ax -+• by -f- cz.

Supposons en dlitre que de l’un des points de la circonférence de cette base, ayant pour coordonnées x,y, z, on ait abaissé sur p une perpendiculaire , que de plus r soit l’angle que la génératrice du cône fait avec son axe ; on aura , par la propriété du triangle rectangle ,

p = cos r \/ x* -\r y% - f- i

égalant donc ces deux valeurs, il vient de suite pour équation de la surface conique cherchée

(ax by -f- cz)9 =: (x* -+• y* + z*)cosar.

Si l’axe du cône coïncidait avec celui des z, on aurait a = £==o,c = i,e t par suite

za = (xa4-.ya4-2*)cosar.

Il suit de là., que deux cônes donnés par les équations

(ax + by + czy=z(x'+y' -f *a)cosa r,

4 **=(x’ 4“ y * + z* ) cos* r",

DS ttfoMÉTRlE. 3o9

se couperaient suivant deux droites passant par l’origine des coordonnées et situées dans un plan dont l’équation proviendrait de l’élimination de la fonction xa -\-y* 4" »

c’est-à-dire serait

(a x -f* by ) cos r" = z (côs r — c cos r").

Solution relative aux surfaces de révolution.

1 46. Quelle que soit la nature de la courbe génératrice d’une surface de révolution , lorsqu’on coupe cette surface par un plan perpendiculaire à l’axe de révolution, l’on obtient, pour section, une circonférence de cercle dont le centre est dans l’axd, et dont tous les points sont par conséquent à égale distance d’un autre point pris sur cet axe; ainsi en représentant par

x — Az -j- a , ^ = Bz-f-ù,

les équations de l’axe de révolution , le plan qui lui sera perpendiculaire aura pour équation (n° 1 24 )

Ajf-HB y-f- z = ^;

la quantité qui détermine la position du plan, étant constante pour le même plan perpendiculaire, et variable d’un plan à un autre.

Maintenant si l’on prend le point où l’axe de révolution rencontre le plan des x y , pour le centre commun d’une suite de sphères concentriques , ce centre aura visiblement pour coordonnées, x = a,y=zb,z=zo, et l’équation générale des surfaces sphériques , dont le rayon indéterminé = y, sera

. (x — a)a + (y— -ù)a + za = ya-

Or les courbes faites sur la surface de révolution , par des plans perpendiculaires à l’axe de rotation, peuvent etre censées les mêmes que celles qui seraient produites par les surfaces sphériques dont il s’agit: les quantités , y sont

3lO

donc constantes pour tous les points de la même courbe d’intersection, mais elles varient lorsqu’on passe d’une intersection à l’autre ; ainsi les valeurs de et de ya sont fonction l’une de l’autre , et l’équation générale des surfaces de révolution est

(* — ay + (y — by + z* =/(A* + By + s);

f indiquant une fonction quelconque dont la forme dépend de ia nature de la courbe génératrice.

a et b sont nuis, lorsque Vaxe de rotation passe par l’origine; alors l’équation précédente devient

*4 + J4 + z4 =/( A* -f- B y + z)i et l’on a de plus A = o , B = o , lorsque cet axe coïncide avec la ligne des z. Dans ce cas, l’équation des surfaces de révolution se réduit à

ou à

les signes /et <p désignant des fonctions quelconques.

Pour déterminer, dans l’équation générale des surfaces de révolution, la forme de la fonction arbitraire, il faut connaître les équations de la courbe qui engendre la surface que l’on considère : les équations

A* 4-By 4-* = ^, (* — a)a -f (.y — by+ z* =/0O> seront donc pelles qu’il faudra combiner entre elles, pour obtenir l’équation de la surface individuelle cbercbée.

Proposons-nous, pour exemple , de trouver l’équation du sphéroïde engendré par la révolution d’une ellipse autour de son petit axe 2 b. La courbe génératrice étant plane , ses équations seront

DE GÉOMÉTPLK- '3*1

ou aura, en outre, par ce qui précède,

*a-hy9 + z9= v*.

y — $ étant l’équation d’un plan perpendiculaire à l’axe de rotation , et la dernière, celle d’une” sphère dont le centre est à l’origine des coordonnées.

Ces quatre équations doivent avoir lieu simultanément pour que la surface proposée soit de révolution ; si donc on élimine entre elles, x , y z, on aura

a* b* — a* S* -J- = b* ya;

et si l’on substitue ici pour ^ et ya leurs valeurs, la surface du sphéroïde de révolution sera donnée par l’équation

Aaz4 -f- aiy‘x -f- b*x' = oa6a;

résultat qui, en y changeant a en Jet* en .y, rentre dans celui du n° i4o.

On nomme aplatissement d’un ellipsoïde de révolution, la différence et des demi-axes , l’un d’eux étant pris pour unité. Si donc, dans l’équation précédente, on introduit cet aplatissement, en posant b =a ( i et) , il viendra (i — se)azaH-.ya=aa(i — et )a,

ou en développant, négligeant les termes en *a, et faisaut a = i , pour simplifier ,

**+/*+ *9— i“2*(*a-f-za — i) = o; ou en général

x* -\-y* -f- za — i — i au —u = o ;

a étant supposé un très petit coefficient, et u étant une fonction d ex,y,z. C’est sous cette forme que l’auteur de la Mécanique céleste considère l’équation de la surface de la terre. On trouvera , dans mon Traité de Géodésie, tora. II , diverses applications importantes de cette équation.

Solution relative à la surface engendrée par une droite mobile qui sJ appuie sur trois autres droites fixes.

147. Première solution. Quoique l’on pu isse, en général , placer comme on voudra les axes des coordonnées par rapport aux trois droites fixes qui dirigent le mouvement de la génératrice, on conçoit que pour abréger les calculs , les directions de ces axes doivent être telles , que les équations des droites soient les plus simples possibles; or, c’est ce qui arrivera en prenant pour axe des x la première droite fixe, pour axe desj la perpendiculaire à cette première et à la seconde droite, et pour axe des z la perpendiculaire au plan *y'

Cela posé , les équations de la deuxième droite fixe sont x~= az , y = b ;

celles de la troisième droite ,

x ms -f- n , y = pz q\

et les équations de la droite mobile qui est assujettie à passer constamment par l’axe des x , sont de la forme x = A.2-f-B, y ~Cz ,

A et B étant des fonctions de C qu’il s’agit de déterminer. Si ces quantités étaient connues, en éliminant C entre ces deux dernières équations, l’on aurait celle de la surface engendrée par la droite «mobile : or , cette ligne devant s’appuyer sur les deuxième et troisième droites, il en résulte (n° 121 ) les équations de condition suivantes:

BC -f b (A — a) = o,

desquelles on tire

»Ca -f" ~~~ np*~ ab) Ç, ~\-abp

~~ bp+(q-~b) C '

D b («y — mq-^-np') — bnC

B — bp + (q — b)C '

Substituant ces valeurs dans les équations de la droite mobile, ensuite éliminant C, et ordonnant, il viendra cette équation du second degré en x ,y , z ,

abpz * -|- ny% — ( ab np ) yz — bpxz -f- (b — y ) xy — bny

-f - (baq — bmq -j- bnp) z o. (i)

La surface gauche ou réglée engendrée parle mouvement de cette droite est donc du second ordre.

Voici un des moyens de se convaincre que cette surface peut être engendrée de deux mauières différentes par une droite mobile ; ce qui est le caractère distinctif de l’hyperboloïde à une nappe.

Soient généralement

x = Az -f B, y = Cz -f- D,

les équations de cette génératrice : pour qu’elle soit tout entière sur la surface de l’équation (i), il faut que cette équation , après y avoir mis pour x et y leurs valeurs actuelles, ait lieu indépendamment de z. Aussi, en égalant séparément à zéro les coefficiens de z*, de z et le terme constant, dans le résultat de la substitution indiquée, trouvet-on trois équations de condition entre les quatre quantités A, B, C, D, dont la combinaison conduit à des valeurs réelles de A, B, C, en fonction de l’arbitraire D; valeurs qui indiquent qu’il existe effectivement deux manières différentes de produire avec une droite la surface dont il s’agit.

Deuxième solution. L’équation (i) n’est pas symétrique, parce que les équations desquelles nous sommes partis ne le sont pas elles-mêmes. Il n’en serait pas aibsi , en rapportant les points de la surface cherchée à des axes parallèles aux trois droites données ; mais alors le calcul devient

un peu plus compliqué. En effet, «oient dans l’hypothèse présente, t, u, v ies coordonnées d’un point quelconque de la surface. Les équations des trois droites données et rapportées à des axes obliques, seront,

pour la première, parallèle à f, t = f , u = f\

pour la seconde, parallèle à v — g, t = g )

pour la troisième , parallèle a t , u — h , v •=■ h ;

f,f,g,g, A , A' étant des quantités constantes et données. Si, comme on en est le maître, on représente par w = M* + N, v = M'« + N' les équations des deux projections de la droite mobile , la troisième projection sera donnée par l’équation

M'm — = M'N — MN' ;

et comme cette droite s’appuie constamment sur les trois droites fixes , on a nécessairement ces relations ( n° 1 2 1 ) , f— M /-h N , g = M 'g 4- N' , M'/i — M lî — M'N — MN' , qui serviront à faire connaître trois des quantités M, N,

D’abord on trouvera aisément

ensuite

.. ..jT -/<-/«’+/< *y-g ÙZ§!=£l + ël,

M-' J=fu. - ’

et parce qu’en égalant les iléus valeurs de 1V1 N MN » on a .