CHAPITRE VI

Méthode générale pour mener des plans tangens aux surfaces courbes, et applications de cette méthode.

i48. Si l’ail imagine un plan tangent à une surface courbe quelconque j et une suite de plans qui passent par le {joint de contact, de manière que ceux-ci coupent la surface et le plan tangent, les sections faites sur la surface courbe auront respectivement pour tangentes, ces droites qui sont les intersections des plans coupans et du plan tangent. % Réciproquement, si tant de droites qu’on voudra sont tangentes à une surface courbe, et ne forment qu’un*seul et même contact , elles seront dans le plan tangent à cette surface-, car s’il en était autrement, on pourrait par un des points d’une courbe plane mener deux tangentes à cette courbe , ce que l’on sait être impossible.

Pour obtenir l’équation du plan tangent ^ il ne s’agit donc que d’exprimer algébriquement qu’une droite est assujettie à passer par un point d’une surface , et à lui être tangente dans toutes ses situations possibles. La méthode que nous alljps exposer étant générale, nous nous occuperons seulement de déterminer l’équation du plan tangent aux surfaces du second ordre. L’équation de ces surfaces est, par le n° i3g,

Ma* + Ky* + P*a -1" M'z 4- Pfy 4-Far-f-K==0i (0

et lorsque x , y, * > sont les coordonnées d’un de leurs

ÛE GÉOMÉTR'E. 3 17

points , on a évidemment

Ms'» -4 %'» + P*'» -4 M V -4 N'y 4. PV 4 K = o. (2)

D un autre côté , les équations des projections d’une droite menée à volonté par ce point , sont

Ensuite, pour transporter l’origine des axes à ce même point, et rapporter ceux de la surface courbe à des coordonnées polaires (n° i37), on fera dans l’équation (1),

x = Rcosâcos<p-f-*', ^=Rcos0sin<p4y, z=Rsin0-4s', ou , pour abréger,

*=R pm + x, y=zRpn+y', s = Ry4-s';

on aura par ce moyen ,

M (R</ -4 z')3-4 N (R/m *4y )s“4 P (Rjwn 4*/)a 1 r + M' (Ry + s') -f- N' (R pu +/) +F (R Pm+ x') /+K=°'

Le développement de cette équation sera visiblement de la forme

4»R + ? = o, ou R (pli -4 *,) + 1 = o.

Or, si la droite que l’on considère devient tangente à la surface; on aura R = o; par conséquent | = o ; et c’est précisément la relation (2) , comme le confirme le résultat du développement : on aura donc pour équation de condition du contact ,

c’est-à-dire , en ne prenant dans le développement dont il s’agit , que les termes qui multiplient la première puissance de R,

2M<jrz' -4 2N pny -4 2P pmx' + M'y -4 N ’pn + V'pm = o.

Divisant tout par q , et faisant attention que, par le n° i37 y

pm pn

~~~ — a ) ~ — ô, il viendra

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