Mz' •+■ 2N&/ -f- 2Patf/ 4”M' 4* 4“ Ÿ a — o

Cette équation étant la seule qui existe entre a et b , il s’ensuit que la position de la tangente est absolument arbitraire. Nous pouvons faire disparaître ces. quantités ; car les x •— ■ x f y — ~ y

équations (3) donnant a = g ^ » & = z on a

(îMs -h m') (z - z') + (2%' -h N') (. y — y ')

-j- (2Px + P') (jX - x') = O.

Puis effectuant les multiplications indiquées et réduisant à l’aide de la relation (2) , on parvient à ce résultat plus simple ,

(2M z -f- M') z 4- (2%' + N') y 4- (2P/ 4- P') * \ __ Q . /-Tn 4- M 'z 4- N >' 4- P'*' 4- 2K J

lequel ne peut varier , puisqu’il se trouve dégagé des quantités qui particularisent la tangente , pourvu cependant que cette droite, quelle que soit d’ailleurs sa direction, passe constamment par le même point de la surface courbe. De plus, puisque xyz n’entrent ici qu’à la première puissance , les tangentes aux surfaces du second ordre , et qui ont un contact commun, sont toutes dans un plan qui jouit luimême de la propriété de toucher ces surfaces : l’équation précédente est donc celle du plan tangent.

Il est utile , dans les applications, d’avoir une règle de Mnémonique , au moyen de laquelle on puisse retrouver de suite l’équation (T) du plan tangent; la voici :

Changez dans l’équation (1) de la surface courbe , x4,^4, a4 en .xx,/y>z'z’

Changez de même dans l’équation (2) relative au point de contact, A/*> *'! 1 en x'x,y'y, z'z;

Enfin, ajoutez ces deux équations ainsi modiffées, et vous aurez l’équation (T).

Lorsqu’on se propose de mener un plan tangent a une

DE GÉOMÉTRIE. 3lg

surface courbe du second ordre par un point extérieur donné x"y"z", l’équation (T) , qui ne change pas de forme , devient

(aMz' -f- M') z" -f- (aN/ + N')y -f (aP*' + P') *

+ MV + N y 4- PV + 2R J - °’

<yV étant les coordonnées inconnues du point de contact.

En combinant cette équation avec celle de la surface , on ne peut obtenir que les valeurs de deux de ces coordonnées en fonction de la troisième, pu, ce qui est de même, on arrive aux équations dfs projections de la courbe de tous les points de contact possibles. Ainsi , la question actuelle est susceptible d’une infiuité de solutions; et il est à propos de remarquer qu’une droite qui passerait constamment par le point donné, et qui, dans son mouvement, ne cesserait de toucher la surface courbe , engendrerait un cône tangent à cette surface dans tous les points de contact dont il vient d’être parlé. Si le point donné était lumineux, la courbe déterminée par tous ces points, serait celle qui sépare la partie ombrée de la partie éclairée. On voit donc par là comment peut être résolu le problème général des ombres; mais nous reviendrons sur ce suje*

Dans l’équation précédente du plan tangent, les coordonnées x , y , z , sont celles des points communs à ce plan et à la surface touchée ; cette équation est donc aussi celle du plan de la courbe de contact , lorsque x',y' , z' sont considérées comme les coordonnées courantes de ce second plan. On a vu au n° 55 une particularité semblable pour les lignes courbes.

Il n est pas besoin de faire remarquer que si les points de l’espace étaient rapportés à des coordonnées obliques , les équations des surfaces du second ordre, et celles de leurs plans tangens, seraient de même forme que par rapport à des axes rectangles.

1 49- S* un P^an tangent à la sphère, dont l’équation est

**+y + sa = r‘,

devait passer par le point extérieur x"ynz", on aurait pour l’équation de ce plan, ou pour celle du plan de la courbe de contact,

xxn + yy" + zz" = * >

étant celle-ci de la première, il restera

x"1 — xx" +y* —y y" 4- z1 — zz" = ° '>

et par conséquent,

Cette équation étant celle d’une sphère dont les coordonnées du centre sont “ > et le’ rayon .

-\/X l+y"l + Z"~- il sensuit que si l on J0mt le CentrG

de la sphère donnée et le point connu , la sphère qui sera décrite sur cette droite, comme diamètre, coupera la première suivant une circonférence de cercle, qui sera le lieu

de tous les points de contect cherchés, et dont la projection , sur le plan des xy, aura pour équation

(r9 xxa "~“yy

Lorsque z" = o , on a simplement

r*z=z xx" + yyH)

c’est-à-dire que la courbe de contact est dans un plan per pendiculaire à celui des xy, ce qui est en effet évident.

Le plan tangent serait déterminé de position , s il devait passer par une droite donnée * =az + « , y = bz 4 £ ; car on aurait entre les coordonnées xyz du point de contact

ees trois relations (n°s u7 et 126).

DE GÉOMÉTRIE. 3a f

ax' 4- fiy =z r», ajf ' -H &y 4- z' = o ,

desquelles on déduirait en quantités connues les valeurs de ces coordonnées. Mais la solution de ce problème devient très simple en prenant pour plan des xy celui qui contient la droite donnée et le centre de la sphère, et pour axe des x la ligne perpendiculaire à cette même droite. En effet, la trace du plan tangent sur celui des xy, laquelle a p^ur équation xx +yyss devant dans ce cas coïncider avec la droite donnée x = m , on a nécessairement y = o et. t r* r*

x = ~ = — • Substituant ces valeurs dans l’équation de la sphère, il vient

Ainsi l’on mènera par le point où la droite donnée coupe Taxe des ar, deux tangentes au cercle r, et la moitié de la corde joignant les points de contact sera la cote ou coordonnée verticale de l’un de ces points. Il est de toute évidence que ce problème admet deux solutions.

La normale à une surface courbe étant la droite qui passant par le point de contact, est perpendiculaire au plan tangent, c’est-à-dire à toutes les droites tracées dans ce plan , ses équations seront

en désignant par xy z les coordonnées du point de contact.

Or, pour toute surface de révolution et du second ordre, donnée parla formule Mz4 -f Ny» + Mar4 -f- K = o , n° 1 48 , on a, en faisant successivement^ et x = o dans la relation (T) du n° précédent, et en ayant égard à l’observation qui commence le n" 1 24 ,

puisque, dans les équations (i) et (T) , M' — N7 — V — ct jvi = P. Partant, les équations des projections de la normale deviennent

xz =x z , y

Ainsi , en vertu de la première équation , dans laquelle on lit que la projection sur le plan des xz passe par l’origine , on doit conclure que la normale rencontre l’axe des y , ou celui de rotation; c’est même ce qui a lieu pour toute surface de révolution.

Résolvons maintenant la question suivante :

problème.

i5o. Mener un plan tangent à une sphère , et qui soit en même temps assujetti à être parallèle à un autre plan

donné.

Soit

l’équation de la sphère ; celle du plan tangent sera x*x -4 -yïy 4- zz = f

x'y, sT étant les coordonnées du point par lequel passe le plan proposent x', y't z étant celles des points de la surface sphérique , comptées du centre. On aura en outre pour \ équation du plan donné

z = ax -j- by 4" c. (^)

Celle (2) pouvant s’écrire ainsi,

il faudra, pour que les deux plans soient parallèles, qu’on

ait les relations

et par conséquent

yf=zb£

Comme il est permis de prendre pour axe des * la ligne qui passe par le point donné , on a, à ce point, y = z" = o, et pour lors l’équation (2) donne

De là, on conclut aisément

substituant ces valeurs dans (i), et réduisant, on a d’où l’on tire

rÿi+g' + b'

On détermine les coordonnées du contact à l’aide de l’équation CO; e“ en y substituant les valeurs ci-dessus de y et % en fonction de x° , on obtient

et par suite

Pour trouver l’expression de la perpendiculaire abaissée' du centre de la sphère sur le plan tangent , il faut faire attention qu’à ce point , x * —y" = zn = o : or , en général , la longueur delà perpendiculaire est (n° 124) .

g *** — : et pour le cas actuel , on a simplement

Mais l’équation (4) donne c=p-, z étant la coordonnée

verticale du point de contact; par conséquent l’expression de la perpendiculaire devient

et si l’on y met pour z sa valeur , on

aura r pour résultat. Donc le rayon qui passe par le point de contact est perpendiculaire au plan tangent : vérité démontrée dans tous les élémens de Géométrie, et qui se vérifie d’une manière fort élégante par l’Analyse.

PROBLÈME

i5l. Trouver le centre d'une sphère qui en touche une autre, ainsi qif un plan donné de position, et qui passe en même temps par un point donné.

Pour simplifier les calculs , plaçons l’origine des axes au centre de la sphère connue, et supposons que le plan des x, y soit parallèle au plan donné. Cela posé, soient x,y , a les coordonnées du centre cherché, a, b} c celles du point connu, d la distance de ce plan donné au plan des x , y, enfin r et u les rayons respectifs des sphères connue et cherchée; on

DE OÉOMÉTB1E.

darâ, pour la condition du contact des deux sphères,

pour celle du contact du plan et de la sphère cherchée ,

et pour exprimer que la surface de cette sphère passe par le point donné ,

(a — xy 4- ( b -y y + ( c zy — M».

Ams1 le problème est indéterminé, puisque l’on a moins d’équations que d’inconnues.

Les deux premières équations combinées entre elles pour éliminer u, donnent

*9 ~h y* = f* + d* — 2 dz +■ irz — idr. (i)

La seconde et la troisième équation combinées de la même manière, fournissent

a% + + c* + *a +y2 — 2 ax — zby— 2cz = d* — idz ;

et si l’on soustrait ces deux résultats l’un de l’autre, il viendra a9 -f ca~ 2 ax — 2 by — 2cz = — irz+ idr — r\ (2)

Les deux équations (i) et (2) peuvent se mettre sous les formes suivantes :

*‘+y' + *(d-r)z=z r'+d'-2dr, (,')

2a* +2^y+2 (c — r) z = a'+ b9 + c9 + i*—2dr. (2') Si l’on éliminait successivement^ et 2 entre celles-ci , on aurait les équations des projections verticale et horizontale de la courbe plane sur laquelle sont situés tous les centres des sphères qui résolvent la question. Il est visible , par la nature de cés dernières équations ( i') , (2') , que cette courbe résulte de l’intersection d’un paraboloïde de révolution et d’un plan, et que 1 axe du paraboloïde est vertical et passe par l’origine des axes.

Xfin de faire encore une application de la méthode des

plans tangens , nous résoudrons les deux questions suivantes, dont la première est relative aux ombres.

PROBLÈME-

i5 2. Trouver V équation cTun plan tangent à deux sphères données de grandeur et de position.

Supposons , ce qui est toujours possible , que le centre de la première sphère soit à l’origine des axes rectangulaires , et que celui de la seconde sphère soit au point a, b , c\ on aura , pour les équations respectives de ces sphères,

et pour celles des plans qui leur sont respectivement tangens?

(i) xx -\-yy -f • zz' = r2 ,

ou bien

aCS-a) +b(y' '-b)+c (zff-c) + /* z" — c

Ces dernières équations doivent être identiques pour que les deux plans coïncident ; mais d’ailleurs , en exprimant que la perpendiculaire abaissée du centre de la seconde sphère sur le plan tangent à la première sphère est égale à r, on parviendra de la manière la plus simple à l’équation du plan touchant en même temps ces deux sphères.

En effet, les coordonnées du centre du cercle r étant abc, la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan (l) aura pour expression

DE GÉOMÉTRIB

p 4 ax' H- by 4- cz' — ? »

«t puisque P = r , et que +/• -f z'*= ^ 0n a , en prenant le signe inférieur pour indiquer que les sphères sont entre le plan tangent et le plan des xy ,

(2) ax -f- by' + cz = r (r— r ).

11 est remarquable que x' , y' , z! étant les coordonnées du point ou le plan touche dans une situation quelconque la première sphere , cette équation est celle du plan de la courbe de contact sur cette sphère. Si l’on en tire

ax' r ( r — r) by'

et qu’on substitue cette valeur dans (1), il viendra , à cause

de z = l/ r* — x'a — y'Ay

z — Cr (r — r) — by' — c] x — ayy 4- ar* a r* — x* — y%

Telle est l’équation du plan tangent aux deux sphères, et dont la position dépend des coordonnées x' , y.' Lorsqu’on prend, non-seulement pour plan des xyy celui qui passe par les centres des deux sphères , mais encore pour axe des * la droite qui joint ces deux points , 011 a b = o , c= o; et cette équation devient

« ar’‘ ~ r(r - 'O* — °y'y

à cause de x' =

que fournit dans la même hypo¬

thèse la relation (2). Cette valeur de x' prouve que les lignes de contact sont dans des plans perpendiculaires à l’axe des x passant par les centres des deux sphères; car on aurait de même, relativement à la seconde sphère,

Nous ferons observer que l’équation (E) acquiert une forme plus simple, en y introduisant les coordonnées a, /3 du point où la tangente commune aux deux cercles r , r touche le premier cercle. En effet, arec un peu d’attention, l’on obtient

Il est possible de trouver un résultat qui convienne à la fois à tous les plans tangens , c’est-à-dire de parvenir à l’équation de la surface conique qui enveloppe les deux sphères : en voici le moyen.

Si dans (E) l’on fait y et a = o , et qu’on ait égard aux deux situations différentes du plan tangent par rapport aux sphères , on aura , pour l’abscisse du point d’intersection de ce plan et de l’axe des x ,

cir

X~rzf: r'~~

(*) Remarquons , en passant , que si le plan (E) (levait aussi toucher une troisième sphère du rayon r*, et dont les coordonnées du centre fussent a', V, o, on^anrait^la relation

aV + fty = r(r— r"), {**)

qui donnerait, en vertu de la valeur précédente de xr,

, r* (r— * r") a'r(r — rf )

X V~ aV

On voit par là quel changement il faudrait faire à l’équation (E) pour qu’elle représentât celle d’un plan tonchant trois sphères; ce qui peut avoir lieu de huit manières différentes; mais il est plus simple d’employer son équivalente (E') , dans laquelle la coordonnée y' représente dans ce cas la perpendiculaire à l’axe des x , abaissée du point d’intersection des deux cordes qui joignent, dans le cercle r, les points de contact des couples de tangentes menées symétriquement aux cercles r / et aux cercle rr".

DE GÉOMÉTRIE. 32g

Or , ce plan , dans toutes ses situations possibles , touche la première sphère suivant une circonférence de cercle, résultante de la commune section de cette sphère et d’un

plan perpendiculaire aux .r, mené à x'z= - frzn r) de

distance de l’origine des coordonnées : la question est donc réduite à chercher l’équation dp la surface conique engendrée par une droite qui tourne autour d’un point donné sur l’axe des x , par l’abscisse (3) , et qui passe constamment par tous les points de la courbe d’intersection dçs deux surfaces

Cela posé , les équations des projections de la génératrice étant généralement (n° 1 44)

deviennent , dans la circonstance actuelle ,

Combinant celles - ci avec les précédentes , on trouvera aisément

** = £(r:Fr')*, ? = S =

Si l’on introduit maintenant ces valeurs dans la première équation (4) » et que l’on élimine m , on obtiendra un résultat qui , étant décomposé eu facteurs , sera

De plus , si l’on réduit tout les termes au même dénominateur, et que l’on remplace a. et fi par leurs valeurs (5),

on aura , réduction faite ,

[(r Zf r)x — ar]a -f- (j* + z2) [(r :+: r)‘ — <J = o.

Voilà l’équation que nous avions en vue de trouver : en la considérant par rapport au signe supérieur, elle appartient au cône circonscrit aux deux sphères, et dont le sommet est sur le prolongement de la droite qui joint les centres ) mais en prenant le signe inférieur , elle appartient au cône dont le sommet est entre les deux sphères. Si l’une d’elles était un corps lumineux , et que l’autre fût un corps opaque éclairé par le premier, la partie pure de l’ombre serait déterminée par le premier cône , et la partie de la pénombre le serait par le second cône. Il est évident que cette conséquence est générale , quelles que soient d'ailleurs les équations des surfaces des deux corps que l’on considère. Monge est le premier qui ait résolu le problème général des ombres. Les observations importantes dans lesquelles ce savant géomètre est entré à ce sujet , ne pouvant qu’intéresser les amateurs de l’Analyse et de la Géométrie descriptive , nous les engageons à consulter les Mémoires des Savans étrangers j t. IX.

Lorsque , dans l’équation ci-dessus , l’on fait z — o , on a

(r — r)x — ar V ci1 — (r — l'y

d’où l’on voit que les traces de la surface conique sur le plan xy , sont deux droites placées symétriquement à l’égard de l’axe des x , et que leur point d’intersection , qui est en même temps le sommet du cône , est donné par l’abscisse x = — -, , comme on l’a trouvé ci-dessus, et au n° 55.

Il résulte de là, i°. que si un plan est tangent à trois sphères, il touchera en même temps les trois cônes circonscrits aux sphères prises deux à deux , 2*. que les sommets

DE ÜÉOMJÊTRIE. 33 1

de ces cènes, situés sur la commune section de ce plan et de celui qui passe par les centres des sphères seront toujours en ligne droite ; propriété qui donne nécessairement lieu au théorème du n° 80 , et que les considérations de la Géométrie dans l’espace font aisément découvrir.

PROBLÈME

l53. Déterminer l équation d’un plan tangent à deux cônes droits ayant meme sommet.

Deux cônes droits C , C" ont par hypothèse leur sommet a l’origine des coordonnées rectangles ; l’axe du second C coïncide avec celui des z ; mais l’axe du premier a une direction quelconque connue par les cosinus a , b , c , des angles qu’il fait respectivement avec ceux des x , y y z. Si donc les angles générateurs de ces cônes sont r, r y les équations de leurs surfaces seront (n° 1 45)

(ax -f- iy + cz)a = (jfa —J— s4) cosV, ( I )

z* = (*a + y2 4- za) cosar". (2)

Or, tout plan passant par l’origine des axes a généralement pour expression (n° 122)

Dx -h Ey + Fz = o , (3)

et l’on peut supposer, d’après le n° 128, que les coefficiens D , E , F, sont liés entre eux par la relation

Da + Ea-f-Fa = i. (4)

Si ce plan touche extérieurement les deux cônes don t il s’agit , ou , ce qui est de même , s’il les laisse d’un même côté, il faudra prendre positivement sin r et sin r". Dans ce cas, et à cause que les axes des cônes C, C" fout respectivement les angles r, / avec le plan tangent, on a (n° 128) ces deux équations

-f £E + cF = sin r,

F = sin r",

lesquelles étant jointes à la précédente (4) feront connaître D , E , F : elles montrent donc que le problème est du second degré , et qu’il existe par conséquent deux plans tangens communs aux deux cônes.

Si 1 on suppose que x , y , z soient les coordonnées de l’une ou de l’autre ligne de contact cherchée, les équations (3,5,6) auront lieu en même temps , et fourniront par leur combinaison les valeurs suivantes :

U (s in r — c sin r")y -f- bz sin r"

ay — bx ’

£ __ (sin r — c sin r")x -f- az sin r"

ay — bx

F = sin r",

qu’il faudra substituer dans (4) , alin d’obtenir

[(sin r — c sin r")y -+• bz sin r"Ja 1 -H [(sin r — c sinr")x -f- az sin r"^ J ' ° f

c’est-à-dire l’équation d’une surface dont les intersections avec l’un des cônes détermineront les lignes de contact avec les deux plans qui touchent à la fois extérieurement les cônes G" et C. *

En la développant , puis la multipliant par cosV' , et réduisant au moyen de la relation a* -f- ô* -f- c* = i , qui est la meme que celle (4) ; enfin , en ayant égard à l’équation (2), et complétant un certain carré, on parviendra définitivement a ce résultat fort simple,

O2* H" ty) cos V" == z (c sin r" — sin r) sin r". (7)

Telle est l’équation du plan touchant à la fois les deux cônes dont il s’agit. C’est ainsi que M. Gergonne a résolu ce problème. ( Ann. de Maûi. , tom. IV, p. 358 ). Nous prouverons au n° 189, qu’il y a moyen d’arriver plus directement au meme résultat.

THÉORÈME

,54- Lorsqu une sphère , dont le centre et le rayon varient , touche constamment trois sphères fixes , i°. ce centre parcourt une courbe du second ordre dont le plan est à la fois perpendiculaire à celui qui contient les centres des trois sphères fixes, et à la droite sur laquelle se trouvent les sommets des trois cônes circonscrits à ces memes sphères fixes; 2°. la courbe formée par les points de contact de la sphère mobile et de chacune des sphères fixes est un petit cercle de cette dernière sphère.

Désignons par r, /•', r" les rayons des sphères fixes, et par R le rayon de la sphère mobile ; plaçons l’origine des axes rectangles au centre de la première sphère, et représentons généralement par a, b, c , a', b', c ; X, T, Z , les coordonnées des centres des sphères /, r", R ; mais pour rendre les calculs plus simples, supposons b = o , c = o, c ° > on aura y en considérant les contacts supérieurs au plan des xy , et d’après le n° 1 1 7 ,