CX -a'y-h (Y - b')>+ Za = (R 4. r»y

De la première équation soustrayant successivement la

seconde et la troisième , puis éliminant R entre les deux restes, on obtiendra un résultat indépendant de ce rayon variable et de la coordonnée Z, savoir :

Quation qui peut s’écrire plus simplement en y introdui-

sant les abscisses des points où les axes radicaux des cercles r, r et r" coupent chacun en particulier l’axe des x. En effet il est clair, par ce qui a été démontré au n° 129» <lue la première abscisse

d ±jLnsl

ia ’

et que la seconde abscisse

ainsi l’on a

= dm (r — /) — a* (r — r ). )

C’est l’équation d’un plan perpendiculaire à celui des xy, puisqu’elle est indépendante de Z. Si l’on en tirait la valeur de X et qu’on la substituât dans (1) , ensuite qu’on éliminât aaX — a2 •+■ /* — r*

du résultat le rayon R = - 2(r—'7j - » on arrive"

rait à une équation du second degré entre Y et Z , qui représenterait, sur le plan des y* , la projection de la courbe parcourue par le centre de la sphère mobile ; donc cette courbe est plane et du second ordre , et son plan est perpendiculaire à celui des centres des trois spberes fixes.

D’un autre côté il résulte de la remarque contenue dans la note de la page 328 , que l’équation de la trace bor izontale du plan tangent aux trois sphères fixes, est

&'(r— r)x +[«(r- /) — a' (r — r)].y = aù'r;

or , en comparant cette équation à la précédente (A.) , on reconnaît que ce plan et cette droite sont perpendiculaires’ l’une l’autre , n° 124.

Désignons maintenant par x ,ÿ , z les coordonnées du point où la sphère mobile touche le premier cercle -, on aura évidemment ces relations ,

— — zL— il__ r

d’où

et comme les équations (1,2) soustraites l’une de l’autre donnent

aR C r — r) = 2aX — a4 -f- r'8 — r“ , «

on a, en éliminant R,

3X = îlCf1-

ax — r (r — r) r

et par suite

Ces valeurs changent l’équation (A) en une autre également linéaire en x y , et qui démontre par conséquent la deuxième partie du théorème énoncé.

Il existe huit séries de sphères qui peuvent toucher trois sphères données , et dont les centres mobiles sont distribués sur quatre courbes différentes.

La solution du problème où il s’agit de déterminer une sphère qui en touche quatre autres données de grandeur et de position dans l’espace , est naturellement une conséquence de celle qui précède. En effet, si l’on construit par les méthodes de la Géométrie descriptive les plans qui contiennent les centres des spheres mobiles touchant les sphères données, prises trois a trois, ces plans se couperont en un point commun qui sera le centre de la cinquième sphère cherchée ; mais voyez à cet égard la Géométrie descriptive de M. Hachette , page 1 72. Enfin , si l’on cherche parmi les sphères mobiles celles qui ont leurs centres dans le plan de celui des centres de trois sphères fixes avec lesquelles elles Arment contact , ces centres seront ceux des cercles touchant à la fois trois cercles donnés.

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