f- tang 6 tang

ainsi , pour le cas actuel ,

Telle est 1 expression de la tangente de la projection de 1 angle cherché ; mais cet angle est aussi celui des deux plans ( a ) , puisqu’ils font un angle V dont le cosinus est (il0 125),

cos V = — ^a~f BP/ 4- 1

V/ Aa -f B» + , j/a2 -f B'*-f 1 *

b Aa -|- BB' -f- 1

ou dont

Donc, dans la projection stèrèographique J la perspective de l angle de deux cercles quelconques ne diffère point de cet angle.

Le calcul precedent aurait été plus simple si nous eussions supposé une des tangentes dans le plai* xz ; mais nous avons voulu traiter la question dans toute sa généralité.

Nous observerons qu’en appliquant la même méthode aux projections centrale et orthographique des cercles de la sphère , on parviendrait à ces deux résultats assez remarquables- savoir :

i .Que dans la projection centrale, la tangente de l’angle de deux méridiens , dont l’un coïncide avec le plan xz , est à la tangente de sa projection , comme le rayon des tables est au sinus de la hauteur du pôle.

2°. Que , dans la projection orthographique , les tan gentes de ces deux angles sont précisément dans un rapport inverse du précédent. ,

La première proportion , démontrée d’une manière très différente dans tous les traités de Gnomonique, y est énoncée ainsi : Pour le quadran horizontal, la tangente de la distance angulaire du soleil au méridien , est à la tangente de 1 angle que fait la ligne horaire avec la méridienne, comme le sinus total e-.t au sinus de la latitude du lieu. ( Voyez le petit Mémoire que nous avons publié sur cette matière dans la Correspondance sur V Ecole Polytechnique > tom. Il P-397 )

PROBLÈME

I72, Trouver les cercles qui touchent à la fois trois cercles donnés sur une sphère.

Les cercles donnés et l’un de ceux à décrire pouvant être considérés comme les hases de cônes ayant leur sommet commun au centre de la sphère, le problème proposé

revient évidemment à celui : Trois cônes de meme sommet étant donnes j construire un quatrième cône de meme sommet queux j qui les touche tous trois.

Voici l’élégante solution qu’en a donnée M. Gergonne ; elle est tout-à-fait conforme à celle du n° 85.

Solution. Soient C, C , C" trois cônes droits donnés ayant leur sommet commun au centre d’une splière , pris pour origine des coordonnées rectangles ; et désignons respectivement par r, r , r" les angles générateurs de ces cônes. Si nous supposons que l’axe du dernier cône C" soit celui des z, et que nous représentions par abc , àb'c , respectivement les cosinus des angles que forment avec les axes des coordonnées les axes du premier et du second cône ; on aura ces relations (n° 120)

Désignons par A , B , C les cosinus des angles que l’axe du cône droit cherché forme avec les mêmes axes des coordonnées, et par R l’angle générateur de ce cône ; on aura également

Maintenant , si l’on veut que ce quatrième cône touche extérieurement les trois cônes donnés, il faudra que l’angle que son axe fera avec celui de chacun d’eux soit égal à la somme de leurs angles générateurs 5 ce qui donnera réquation (7) , n° i3i]

(4) 4- bV> -f- cC = cos (R -f r) ,

(5) a' A -f V B + c'C= cos (R + r'),

(6) C = cos (R -h r”).

Ces dernieres équations étant combinées avec l’équation (3) fourniraient l’angle générateur R du cône cherché, et la position de son axe , c’est-à-dire les valeurs de A , B ,

C , lesquelles seraient données chacune par une équation

du second degré. Ainsi le problème est évidemment susceptible de deux solutions, ou, ce qui est de même, il y a deux cônes cherchés , dont chacun a une ligne de contact avec l’un quelconque des cônes donnés. Ces deux lignes passant par le centre de la sphère sont donc situées dans un plan dont la recherche donne simplement lieu à un problème du premier degré.

Si , par exemple , le cône cherché touche les cônes C' , CT, un des lieux de la ligne de contact dont un des points a pour coordonnées *, y , z , est celui de la surface du cône C", et est exprimé analytiquement par

(7) xa-f-,y9 = z8tang2 r";

et puisque cette ligne doit être dans le plan que déterminent les axes des deux cônes, il s’ensuit qu’on a nécessairement

(8) Ay — B.v(*).

En éliminant donc A , B , C , R entre les cinq équations ( 3 , 4 , 5, 6, 8) , l’équation résultante en xyz serait celle du second lieu demandé. Mais pour combiner ces équations de manière à trouver en place du lieu cherché un lieu plus simple de la ligne de contact', nous profiterons de la relation (7) qui fait que des équations (3,6, 8) on tire

(*) En effet, si le pian dont il s’agit-, qui est vertical, fait l’angle <}> avec celui des xz, il fera l’angle ioo° — <? avec celui des yz \ et si 4. fl est l’angle de l’axe du cônetC" avec le plan des xy, on aura par la propriété dn triangle sphenque rectangle ,

d’où

A — cos fl cos <ç, B = cos fl sin 9 ; B

A — ,ao?

mais tang q> = £ j donc A .y = B.r.

4 x si*1 (R 4~'Q

2 tang r" *

» .y sin (R -f-r")

2 tang r" *

ç z oos (R 4“ r") tang r

2 tang r"

De là les équations (4 , 5) deviendront

( ax -\~by )sin(R + r")4-eztangr"cos(R-|-7,")=2tangr"cos(R-)-/ ), («'ar-t-^^sinCRd' r")4-c,2tangr"cos(R-f-r'')=ztang/"cos(R-f'/) ;

et à cause de

cos (R + r) = cos[(R+/’") — ( r " — r)]

= cos(r" — r)cos(R-f- r")4-sin(r" — r)sin(R-! r") , cos (R 4* r) = cos[ (R -f r") — (r" — /)]

= cos(/ — r )cos(R -f- r" ) 4-si n(r” — r )sin(R -}-/*w) ,

les deux équations précédentes se changeront en celles-ci :

[( ax 4 -by) — ztang/sin (r" — r)Jtang(R 4"^") -1- z tang r" Qc — cos ( r" — r ) }

[( ax 4 -b'y) — z tang r" sin ( r" —r )] tang ( R 4- / ) 4- s tang r" [V — cos ( r" — / )1

éliminant enfin tang (R 4*0 , il vient

(ax-\-by) — 2tangr<,sin(r*'-~ r) (a'x4‘6y)~stangr''sin(rj--r^)

^ c — cos(r" — r) c'— -cos (r"— r)

Telle est l’équation d’un plan dont la commune section avec le côneC" représente la droite suivant laquelle ce cône doit être touché par le cône cherché. Comme cette équation reste la même lorsqu’on change simultanément les signes des angles r, r , r" , il est évident que pour les huit combinaisons dont les signes de ces angles sont susceptibles , ou les huit solutionsdu problème, cette équation n’acquiert que

384 propositions

quatre formes distinctes, à chacune desquelles répondent conséquemment deux solutions.

Le plan exprimé par l’équation (9) sera construit , si l’on connaît les directions de deux droitesqui y so'ent contenues, c’est-à-dire si l’on trouve deux systèmes de deux équations en x,y,z, susceptibles de rendre identique l’équation (9): or, parmi le nombre infini de manières de parvenir à ce but, choisissons les deux suivantes. D’abord égalons séparément les deux membres de cette équation (9) à z tanga r", ensuite égalons-les à — z\ il viendra t après les réductions convenables ,

f ( ax -J- by ) cos4 r" = z (c sin r" — sin r) sin r" ' ' 1 (a'* 4- b' y) cos4 r" = z (c' sin r" — sin r ) sin r"

( (ax -f - by) cos r" = z ( cos r — c cos r" ) , ( ( a x -f- b' y) cos r" ~ z (cos r — c'eos r”).

On remarquera, en rapprochant ces résultats de ceux obtenus aux nos i53 et i45, que les plans (10) dont la commune section représente une des droites cherchées, sont ceux des lignes de contact du cône C" avec les plans tangens communs extérieurs tant à ce cône et au cône C , qu’au même cône et au cône C'; qu’en outre les plans (1 1) sont ceux suivant lesquels les cônes C, C', coupent respectivement le cône C' , ou en d’autres termes, sont les plans radicaux tant à C et C" qu’à C' et C" (n° i45); d’où il suit pour le cône cherché une construction analogue à celle indiquée au n° 85.

L’excellent Mémoire de M. Gergonne , dont ce qui précède est extrait, et qui est inséré dans le tom. IV des Annales de Mathém., p. 349 , contient d’autres remarques très intéressantes que nous supprimons ici, moins pour abréger que pour laisser au lecteur une occasion d’exercer sa sagacité en cherchant à compléter lui-même cette solution, l’une des plus propres à constater l’élégance et la généralité des résultats de la Géométrie analytique. C’est aussi

pour cette faison que «ou, l’engageons à appliquer le, rai sonnemens du „• 85 à |a recherche d’une sphère trente a quatre autre, sphère, donnée,: problème susceptible de «me solutions, que ter mat a résolu pour la première foi, par un moyen asses détourné, mai, dont on possède main tenant plusieurs solutions géométrique, et analytiques lrZ directes et très élégantes, consignées dans le Journal de I Ecole Polytechnique, cahier, page .29; dansIaCorres pondance sur cette école , tome II, p. 4a5 (janvier ,8,3V enfin, dans la Géométrie descriptive de M. Hachette.’ p. .6oet 265, ou Ion trouve le développement des deux solutions que nous avons indiquées à la fin du n° 154.

Analyse des principales propriétés du tétraèdre.

!73 Dans un très beau Mémoire inséré parmi ceux de 1 Académie de Berlin, annee i773, Lagrange, en donnant une théorie analytique de la pyramide triangulaire s’est principalement proposé de démontrer, par la seule considération des coordonnées rectangles, que les questions qui paraissent être le plus du ressort de la Géométrie, peuvent être traitées avec beaucoup de détail et de succès par le calcul algébrique. Quoique nous nous proposions de suivre ici une marche analogue à celle de eet illustre géomètre nous éviterons cependant toute opération analytique qui II

des éiémens’ °u ^ 4? 4

[Fig. 90 ] Soit AMM'M" un tétraèdre quelconque ayant pour hase le triangle MM'M", et son sommet A i 1 origine des coordonnées rectangles. Si l’on désigne par

si i:} il

les coordonnées rectangles des points

et que l’on fasse

AM = «, AM' — a', AM" — a" , 1 M'M"= c, MM" = c'y MM' = c", J C '

on aura

Développant lès premiers membres de ces trois dernières équations, simplifiant,» l’aide des premières, et faisant, pour abréger ,

x'x* 4- y y + xzu = b, )

x x" ■+■ y y* 4 - zz" =. bf, V (3)