XX -h y y + Z V = b
il viendra
aa + — 24" =c"*, )
et par conséquent
Si l’on vent mettre à la place des arêtes c, c',c"les angles >> y > v" j (lu' leur sont opposés au sommet du tétraèdre , on aura , en vertu de la propriété du triangle scalène , n° 3 ,
(♦) Au moyen de Celte notation, ori pourrait se passer de figure , car les arêtes opposées aux angles M, M', M" du triangle MM'M" sont désignées par des lettres c qui porsent le même accent, tandis qne les arêtes qui aboutissent au sommet de la pyramide sont représentée* par des a.
OB GÉOMÉTRIE. 3 Qj
b = a a co» y , b' — aa" cos y' , bu — aa cos y" ,
et si l’on désigne par ^ les aires des triangles AM'M",
AMM", AMM' , on aura, en vertu du n° 3
a, = ad sin y , d = aa" sin y' , a" = aa' sjn et par conséquent
*a = a'Va - b\ }
«"2 = aVa — bn* J
quant au triangle MM'M* dont les côtés sont c, d , c" , son aire 2 sera donnée par la formule
i6sa == 4cac'a — ( ca -f- c'a — c"a )a • ou substituant pour c , c , c", leurs valeurs (4), par celle-ci : 42 a=±(â*4-affa*— 2 ô')(a'a-f-a"a — 2 6) — (a** — b—b'+ b") ».
Enfin, effectuant les opérations indiquées, simplifiant au moyen des formules (5), et faisant pour abréger
6Z," — a'ay= \ bV — a"*b"= fi" , ( l’aire de la base du tétraèdre sera
Pour procéder à la recherche du volume Y du tétraèdre, en fonction des coordonnées de ses sommets, il faut introduire l’expression de sa hauteur h et celle de l’aire 2 de sa
base MM'M" dans la formule Y = ** Or, on sait (n‘ 124)
que lorsque P désigne la longueur de la perpendiculaire abaissée d’un point qui a pour coordonnées x,y, z, sur un planj dont l’équation est Ax + By + Cz + D = o , on a
D -f- Ajc, + B y, 4- Cz,
mais dans le cas actuel, x, —yf = */•= o , puisque le sommet A de la pyramide est à l’origine des axes ; ainsi on a simplement
V A* + B‘ 4 Ca
Le moyen de déterminer les coefliciensconstans de l’équation du plan de la base MM'M" , d’après la condition que cette base passe par les points MM'M", est d’opérer comme dans le n° 122 ; mais pouvant ici faire usage des résultats qui y sont rapportés, on aura, en diminuant toutes les lettres d’un accent, pour se conformer à la notation présente ,
a = J y* — /z* 4 yz" — *y" 4 */ — y* >
B = x Z — zx" 4 zx" - X z" 4 X Z - XX ,
C = yx " — x'y“ 4 xy" — yx" -f- yx — xy ,
D =. xy z" y z x" 4 *xfy" — xz'y“ — yx z — zy'x".
Soit, pour simplifier,
yz* — zy = l , zx" — x z" = 1 , xytt—yxn = £, ] zy" — yz 9 — V , xz" — zx" = n , yx" — xy" = £', >(7) yz — zy — sjc' — xz = n , xy — yx = )
les trois premières équations ci-dessus deviendront, en vertu de celle-ci ,
et l’on aura alors , pour la hauteur de la pyramide,
VÏÏ+ W 4 c* 4*' 4 (C4C4 CT’
expression qui acquerra une nouvelle forme , à l’aide de la considération suivante , par laquelle on évite les artifices de calcul employés par Lagrange.
DE GÉOMÉTRIE. 38g
Il résulte du n® 127 que le carré de Faire £ du triangle MM'M" est égal à la somme des carrés des aires de ses trois projections. Or, lest le double de l’aire delà projection du triangle AM'M'' sur le plan des yz, * est le double de l’aire de la projection du même triangle sur le plan des xz , £ est pareillement le double de Faire delà projection de ce triangle sur le plan des x y , et ainsi de suite ; d’où il est aisé de conclure qu’en désignant respectivement par o- , r , «•" , les trois projections orthogonales de Faire £ sur les plans des yz, des xz , et des xy , on a
^ïA) c B, r" == ; C,
et par suite
ce qui donne à la hauteur h cette forme ,
et au volume V de la pyramide, celle-ci :
La quantité D est donc le sextuple du volume du tétraèdre proposé ; et comme elle n’est composée que des coordonnées des sommets des angles du triangle MM'M" , on est en droit de conclure que la valeur de V exprime généralement le volume de tous les tétraèdres qui ont leur sommet à l’origine des axes.
Pour changer la quantité D en une autre qui ne dépende que des côtes de la pyramide, Lagrange fait usage de considérations analytiques très remarquables ; Mais le résultat qu’il importe le plus de connaître pouvant s’obtenir par une méthode beaucoup moins longue, et sans renoncer pour cela à l’emploi des coordonnées rectangles , nous procéderons lihsi qu’il suit :
PHOPOSITIONS
Remarquons d’abord qu’une pyramide triangulaire est le sixième d’un parallélépipède compris sous les trois arêtes contiguës de cette pyramide : ainsi , en supposant que le plan des xy soit une des faces du parallélépipède , de la face M AM" , par exemple , et que l’arête a" coïncide en même temps avec l’axe des x, ce qui ne peut manquer d’abréger les calculs} on aura nécessairement z' = zn = o, et z sera la hauteur du parallélépipède. Or, l’aire de sa base étant al a sin y , son volume U sera
U = a! a' z sin y.
Reste donc à trouver a en fonction des données. Pour cela, reprenons les relations
xx> -+- yy -h zz — aa! cos y",
~h Ja + za = a3,
trouvées précédemment , lesquelles deviendront , à cause de *' ='° j et de x = a cos y , x' = a! cos y , y' = a' sin y , comme il est aisé de le voir ,
a cos y cos y -j- y sin y = a COS y" , y% 4- z% = a4 sina y .
Substituant dans cette seconde relation , pour y 4 , sa valeur tirée de la première , on aura , après avoir extrait la racine ,
z V si“a y sin3 y — (cos y" — cos y cos y y-,
'de là
U = ad a" l/ sTn^TsmV — (cos y" — cos y cos y')4 ; et si 1 on change les sinus en cosinus , il viendra
U — aa a [/ 1 COS3y— cosay' — COS4y"-l-2cosycosy/cosy".
D ailleurs la quantité qui est sous le premier radical résultant du produit des deux facteurs
sin y sin y -f- cos y" — cos y cosy'= — cos(y •+• y) + cos y1 t
Ct
sin y sin y'— cos y"-f- cos y cos y' = cos(y — y) — cos y" ; on a
cosy" — cos(y -f- y) = 2sin£(y -f- y'-+- y")sin-(y •+• y" — y") » et
cos (y — y) — cosy" — 2sinJ(y-j-y" — y')sin^(y'-f- y* — y). Faisant donc
le volume du parallélépipède sera encore exprimé symétriquement par la formule
U = ad a V/[sin S sin (S — y) sin (S — y') sin (S — y")] , et l’on aura pour le volume du tétraèdre ,
y=su-
1 74- Nous venons de décomposer en facteurs la quantité radicale qui entre dans la valeur de U. Cette quantité , que nous désignerons par F , peut être mise sous d’optres formes, ainsi qu’il suit :
En prenant le triangle MAM' pour base du tétraèdre AMM'M", le volume de ce corps sera
q désignant la hauteur de la pyramide , et (a , a') l’angle y \ Or, il est aisé de se convaincre que si h exprime toujours la perpendiculaire abaissée du point A sur le plan du triangle MM'M", on a
cos (Jiy a)’ cos (h, a) ’ cos (A, a")’
q = a" sin(aa, a");
( ad , a") dénotant l’angle que l’arête a * fait avec le plan
ad.
Il suit de là que la valeur précédente de V devient
propositions
y ^ s*n (g> a') sin ( aa ', a")
6 cos (A, a) cos (A , g') “cis (A, a") ’ ^
par la même raison ,
y = ^ sin (g, g") sin (gg", g')
6 ‘ cos (A, g) cos (A, g') cos (A, a")
^ . sin (g', g") sin (g'g", g)
6 cos (A., g) cos (A , g') cos (A , g") ’ et comme les facteurs sin (a], a ') sin (gg', g"), etc. , restent constans , quelle que soit la grandeur des arêtes a , a ', a" , ou celle de la perpendiculaire A , on doit en conclure que l’on a , en comparant ces dernières valeurs de Y avec la seconde de U divisée par 6 , trouvée page 390,
F = sin (g , g') sin (gg', g") = sin (g , g") sin ( aa ", a)
— sin (g', g'') sin (g'g", a) ;
or , (g , g') et ( aa" , a ') étant- respectivement l’hypoténuse et le cété de l’angle droit d’un triangle sphérique rectangle, il est clair que
sin (gg* a )
-7 — ; - -7T = sin (gg', aa') ;
sin (g , g ) v ’ 7 ’
donc
sin (gg', g") = sin (g , g») sin (aa” > ^ f
sin (gg", a') z= sin (g , g') sin (gg', gg"),
siü (g g", g ) == sin (a'? g) sin ^ a > a'a<y
On pourrait trouver d’autres expressions de F, non moins
symétriques que les précédentes, mais un peu plus compliquées : par exemple, on sait, par le théorème du n” 1 15, que le carré de la base du tétraèdre , c’est-à-dire ,
i‘àf*
** - sina(g, g') -f - sins(g, g") -f- sin9(g', g")
aa . gg*
