j - sin (g, g ) sinj(g , g*) cos (gg', gg
DE GÉOMÉTRIE. 3g3
— 2^-^-— sin (a, a ) sin (a', a") cos ( ad , a a”)
(ICI « Ct et I . m • f » u - Il f tÆ -
<—2 - - - sm (a, a ) sm (a , a ) cos (aa , a a ) ;
donc si l’on multiplie cette équation par — , qu’on égale le
produit résultant à la valeur de Va déduite de l’équation ( [m ) précédente , et que l’on fasse
cos (A , q) = A , cos (A , a') = A' ? cos (A , a") = A" , on obtiendra sans peine cette relation
A1 sin1 (a' , a") -f A'1 sin1 (a , a")-f-A"a sin1 (a , a') ~-2AA' sin (a , a") sin (a', a") cos (aa", a'a") — 2A A" sin (a , a') sin (a , a") cos (aa' , a'a") — 2A'A"sin(a, a') sin (a , a") cos (aa', aa").
C’est à ce résultat même que M. Français est parvenu , mais par une marche toute différente de la nôtre , comme on peut le voir dans son intéressant Mémoire cité au n° 1 28.
iy5. Actuellement soient m, n,p les coordonnées rectangles d’un point P placé où l’on voudra , au-dedans ou aru-deliors de la pyramide, et désignons respectivement par R, G, G', G", les distances AP , PM , PM' , PM" ; on aura évidemment
ma-|- «a + — Ra A
(ttt — x)' + (a— y)% 2)*=Ga J ,A)
{m — x )a H- (n— y T + (/>—*Oa=G'M (m - x’Y + (»-/)“ + {p — z")s=G"aJ
Développant ces trois dernières équations , réduisant à l’aide de la première et de celle (1), puis faisant, pour abréger ,
f q‘+R,--Ga + G'a q"a-f Ri — G"*
*1 viendra
mx
Propositions
mx -i-ny -f. pz — k , mx' -f- nÿ -f- pz' = k' f mx" 4 nÿ' + pz" = k"
d’où l’on tire , en ayant égard aux relations (7) et à la valeur de D ,
kl + k'X 4- *T
h + k'ï + kV n— D »
kÇ+k'Ç + kT p = - D - *
Ces valeurs , qui sont générales , se simplifient dans le cas particulier où le point P est le centre de la sphère circonscrite. En effet , supposons R = G = G' = G" , on aura
aav 4 «'V 4- a*V \ f a f\
" = — - ïD - ./ <A)
P “ aD ’ J
Substituant ces valeurs dans la première équation (A) , et remarquant que d’après les n05 57 , 127 et 173 , on a
I» 4- *a 4- ? = *a , r#4 /•+ ra= *a, ra4 v"a4- ca= «Wa,
et que les équations (7) offrent cette relation ,
iT 4- *V 4- cr - ü , 4- M* -1- = ft,
X [4- 4- ÇC = >3",
DE GÉOMÉTRIE- 3g5
il viendra pour l’expression du rayon R de la sphère circonscrite au tétraèdre AMM' M" ,
^ v/ «eaa44-«'aa/4-|-«"?«"4+2(/8"a*a'a-4-/3'as‘a''a-|-/3a'aa"a)
et en y introduisant les angles y, y', y" , on obtiendra, avec un peu d’attention , et après avoir chassé le radical ,
144va
aa sinay — 2a'a"(cosy — cosy'cosy") -f -a'2 sinV — 2aa"(cosy' — cosy cosy" ) 4 a"9 sin sy" — laa ( cosy" —cosy cos>' )
expression dans laquelle V désigne le volume du tétraèdre, et que M. Legendre a obtenue immédiatement par les principes de la Trigonométrie sphérique, note V de sa Géométrie.
Lagrange fait subir aux valeurs des coordonnées (A') des transformations qui reposent sur des considérations analytiques très remarquables ; mais on ne peut se dissimuler que la position du centre de la sphère circonscrite ne soit assez pénible à déterminer graphiquement par cette voie. Pour obvier à cet inconvénient, nous modifierons, sur ce point , les calculs de cet illustre géomètre , sans nuire néanmoins à l’élégance de sa méthode , et de manière à faire voir que les résultats de l’Analyse s’accordent avec ceux que l’on peut déduire de la seule Géométrie.
Reprenons, pour cet effet, les équations (A) dans lesquelles nous ferons R — G = G' = G" ; nous aurons ce* nouveau système
( m — x'y 4- Çn — y )3 4* {p — O* = R% (
Développant toutes les puissances indiquées, et , de la première équation , soustrayant successivement la seconde , la troisième et la quatrième , on n’aura plus que les trois in-
propositions
connues m, n.p, dont les valeurs seront données par les équations
2/rcx 4. 2ny -4 ipz — x2 — y* — z* = o ,
2mx' 4. 2 ny 4- a pz — — /• — *'» — 0 .
2mx" 4~ 2ny" + 2pz” — x"2— ■y"4— /»=, 0
Au lieu de simplifier celles-ci, comme nous l’avons fait précédemment , et de procéder à l’élimination, nous considérerons chacune de ces équations comme celle d’un plan dont les coordonnées de ses points sont m , n,p. Ces coordonnées devant etre les mêmes dans les trois plans au point de leur commune section , c’est-à-dire au sommet de l’angle trièdre qu’ils forment entre eux, il s’ensuit que le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre proposé sera le sommet de cet angle.
En donnant aux équations précédentes la forme
*' (m ~ Lù +y(" Ht) + 0* - 0 - f (c)
on voit que la première équation, parexemple, est celle d’un plan assujetti à passer par un point dont les coordonnées x y z
SOnt a ’ 2 ’ 2 *’ P°mt <Iui est vîsib,emcnt le milieu delà corde
AM de la sphère. Ainsi les plans dans lesquels est situé le centre cherché, passent par les milieux des arêtes du tétraèdre inscrit.
Il reste maintenant à connaître la position que Ces plans doivent avoir à l’égard des cordes qu’ils coupent; or, les équations des projections verticales de la droite AM passant P*r l’origine, sont
DK GÉOMÉTHIT..
en regardant m,n,p comme les coordonnées d’un point quelconque de cette droite, et p comme la coordonnée verticale.
De plus , le plan qui passe par le milieu de AM ayant pour équation la première du système (C) , ses traces sur chacun des plans coordonnés sont
De la comparaison de celle-ci avec les équations (D)on conclut que les deux ^traces du plan sont respectivement perpendiculaires aux deux projections de la droite AM, n° 124. Donc le plan est perpendiculaire à la droite; donc enfin le centre de la sphère passant par quatre points donnés , est i I intersection même des plans menés perpendiculairement aux milieux des trois droites qui joignent ces points.
Il est facile de voir que les deux premières équations (C) peuvent être mises sous la forme
K-îH(-ïW
îW'
Or , si l’on avait a la fois les relations - = ^
elles exprimeraient non-seulement que les plans auxquels appartiennent les équations précédentes sont parallèles entre eux(n° ia3), mais encore, elles indiqueraient que les points A , M , M' sont en ligne droite. Il suit de là qu’il
3q8 propositions
est impossible , dans l'hypothèse actuelle, de faire passer une sphère par les quatre points donnés, puisque son centre ne peut être dans deux plans différens sans se trouver sur leur intersection. Mais ce problème admettrait une infinité de solutions si les quatre points étaient situés sur une même circonférence , parce qu’alors les plans menés perpendiculairement aux milieux de deux cordes quelconques de ce cercle, se couperaient tous deux à deux , suivant une seule et même droite.
176. Rapprochons-nous maintenant de la méthode de Lagrange , et , pour cela , supposons que le point P n’est plus le centre de la sphère circonscrite. Pour avoir la plus courte distance r de ce point à la base MM'M" du tétraèdre, nous emploierons encore la formule dn n° 124, savoir :
et en y substituant, pour A,B,C,D, leurs valeurs calculées précédemment, on aura, en se conformant à la présente notation,
d — (i+i'+Q'rc— (»+»'+»*)» — (c+y+Op
r Ÿit+i'+zr + (.+.'+*•)■ -hî-k-k")1 ’
ou bien ,
d - (s-h'-hv- (»+»+*> — «+w>
On peut modifier les valeurs A , B , C , D , de manière à ce qu’elles conviennent aux faces latérales de la pyramide. Pour cet effet , il suffit de supposer que le plan MM'M" coïncide successivement avec les faces AM'M" , AMM" , AMM' -, et c’est ce qui aura lieu , si l’on fait d’abord x — y — a = o , puis x = y' = z = o , ensuite x" =y* = a" = o ; et pour les trois cas , D = o , puisque les faces dont il est question passent par l’origine.
De géométrie.
Soient donc p , p , p" les perpendiculaires abaissées respectivement du point P sur ces faces. Si l’on fait attention que ces perpendiculaires sont négatives par rapport à r (n° 124)» on a
^ ~h vn -h Çp \
et"
et si , de l’équation r , on tire la valeur de D , on obtiendra, en vertu des équations précédentes ,
D = r [/** + *'• -h a',a -h 2 (0 + /S'-HS*) + p*-h p«'+px' J formule qu’il est d’ailleurs aisé de vérifier, car le tétraèdre AMM'M" peut être considéré comme l’assemblage de quatre tétraèdres partiels qui auraient pour bases les faces du premier , et pour sommet commun le point P.
Lorsque toutes les arêtes du tétraèdre proposé sont égales ,
on a b — h' —b" ~ et par suite «“= et'2 —<*"• = - a4
, „ aS « 2
£ = £=£ — — j donc (6 ~ — — ; donc
Concluons de là que ai d’un point quelconque pris dons l’ intérieur d’un tétraèdre régulier , on abaisse une perpendiculaire sur chaque face, la somme de ces quatre lignes sera toujours constante. On conçoit bien que cette propriété est commune à tous les polyèdres dont les faces sont équivalentes.
En prenant le point P pour le centre de la sphère inscrite , on aura r = p = p = p" } et si , pour abréger , on fait m== V [<*a-+-«'a-|-a"a-|- 2(/S-f-/3' la formule pré-
^oo PROPOSITION* *
cédente donnera
c’est-à-dire , pour plus de simplicité ,
V désignant le volume , et S la surface de la pyramide. Telle est l’expression du ràyon de la sphère inscrite. Nous ne nous arrêterons pas au calcul des coordonnées rectangles de son centre , parce que leurs valeurs peuvent se déduire sans difficulté des équations (8). D’ailleurs on doit naturellement inférer de la méthode du n° i4g, que le centre de la sphère inscrite est situé dans des plans qui divisent en deux parties égales les angles dièdres de la pyramide : propriété analogue à celle du triangle rectiligne.
Si au lieu de rapporter les points de l’espace à des coordonnées rectangles , on les rapportait à des axes obliques et que l’on prît les arêtes mêmes du sommet du tétraèdre pour ces axes, plusieurs des propriétés que nous venons de découvrir par la méthode de Lagrange se manifesteraient sans aucun effort d’analyse et d’une manière très immédiate.
Nous engageons ceux qui désirent de connaître d’autres propriétés du tétraèdre, à lire le Mémoire cité de cet illustre géomètre, et la Théorie des Transversales par Carnot. Ils trouveront aussi sur ce sujet , un article fort intéressant de Monge, dans le n° io de la Correspondance sur V Ecole Polytechnique. Voici deux des propositions nouvelles qui s’y trouvent énoncées :
1°. Si Von prolonge indéfiniment les six arêtes d'une pyramide triangulaire quelconque, on pourra inscrire entre ces six droites celle des surfaces du second degré que Von voudra.
a°. En supposant toujours six arêtes de cette pyramide
prolongée indéfiniment départ et d'autre, si l'on en constdere quatre quelconques opposées entre elles deux à deux ' ü existe toujours un plan qui en se mourant parallèlement a lui-même, les coupe toutes quatre dans des points qui sont toujours sur la circonférence dJun cercle 1
Le ." numéro du second volume de cette Correspoudance renferme d autres recherches de même nature.
théorèmes.
