Ù. ".+&L + VL

ainsi , outre les équations (1) l’on aura ces trois autres

Faisant, pour abréger,

1 es trois équations ci-dessus se changeront évidemment en

celles-ci :

/rc9 -f- 7i2 - 1- p 9

TO/7Î -f- TWl* -f- pp — O , )

^ (4) mm + n"n +p"p = 0 f 1(5)

n'n'-^-p'p" = 0 ; J et comme elles sont les mêmes que celles ( 8' , 7' ) du n° 1 3 2 on aura en outre ces sept autres relations

+ m'9 4- mn* = i ,)

»9 + »'* -f. n’> = i A P% 4- p'a-f />"9 = ij (V — />#i03 + (»>" — »y )a -f («y )» =1 ,

-mp')34-(/>'m" r»yy+ (p'm-m'py=l’l( ) {rnn' - nm'y+ (mV- »'/»')“ 4.

771»/)' — mpri'-\-pmn" — »tti '/>* 4- np,m"—pn'm"= 1 } (8)

ainsi qu’il est démontré au n° i33.

Maintenant, si l’on substitue dans ces sept dernières équations, pour m,n,p, ... leurs valeurs (3) , il viendra

(y z —zy"y+(y"zm — aV)94-(yV— z\y=^c*

xy"z'-x'zy^'xy^\\-^Vx.zyx.abc . (i

et si les angles («' ,V) , («', c") ( (J- , ^ que ,es demi.dia mètres conjugues a , 4', c' font deux à deuI respect;Te ment désignés par i , e" , Gn aura d’abord ,

ensuite, par le théorème démontré au n° 127

(/*"— z'yy+Vx"— x z'y+(x'y"—: yV)2-a' b'1 sina.i ) CyV— *y)*+(^*"-*0*+C^y— y"*r)%-b'*c'* sin2. t" [ (r (y"z—zmy' y+{zmx'—x"z )v-f (xmy -/ï'),=c'V‘ sin®./ j )

et d’après ce qui a été prouvé au n° 173,

/ n m r n ut , r n w ta tu ■ e n ta tu w

XJ Z —x zy +2 ,xy —yxz +yzx — zy x

— âb'c 1/ I— COS*e CO sV COsV'-|-2 COSf cos/cost"- (i4)

Ces trois derniers groupes d’équations sont analogues à ceux (9, 10 et 11). En comparant alors la somme des équations (12) à la somme des équations (9) on obtient cette relation ,

qui donne précisément lieu à l’énoncé du premier théorème.

En comparant pareillement la somme des équations (i3) à celles des équations ( 10), il vient

a/a6,*sina*-l-a/ac,asinat'-l-è,Vasiuî/,= aa61,-|-a,c*-f-6,ca;

tel est le second théorème qu’il fallait démontrer.

Enfin , la comparaison de l’équation (14) avec celle (1 1), donne

a'aiV*(i— cosat— cosV— cosV'+2Cosecos/cos»")=aa£V, et prouve par conséquent le troisième théorème.

Cette manière élégante et directe d’arriver à ces résultats est due à M. tlergonne, mais ils ont été remarqués pour la première fois par M. Livet, ancien répétiteur à l’Ecole Polytechnique. ( Voyez le 1 3e cahier du Journal de cette école. )

Les surfaces du second degré sont douées de beaucoup d’autres propriétés très curieuses sur lesquelles il serait trop loug de nous arrêter, et dont quelques-unes sont encore analogues à celles des courbes de ce degré. On ne pourra mieux faire que de consulter à cet égard les Annales de Mathématiques et la Correspondance sur f Ecole Polytechnique.

t*E GÉOMÉTRIE. ^o5

Voici néanmoins les énoncés <le plusieurs propositions sur lesquelles on fera bien de s’exercer-

l* d^ans toute ligne du second ordre douée d'un centre , si l on mène deux tangentes parallèles 9 une meme droite fixe quelconque , et une troisième tangente variable , le produit des segmens des deux premières tangentes , compris depuis leurs points de contact jusqu" à la troisième , sera une quantité constante.

2 . Deux hyperboles équilatères telles, que les diamètres principaux de chacune sont les asymptotes de Vautre, se coupent toujours à angles droits.

3 . Dans tout hexagone inscrit à une section conique , les points de concours des directions des côtés opposés sont tous trois sur une Ttiême ligne droite.

4°. Dans tout hexagone circop.se rit à une section conitjue , les diagonales qui joignent les sommets opposés se coupent toutes trois au même point.

5 . Trouver quelle surface décrit dans V espace un poi/it quelconque d une droite mobile , dont trois autres points sont assujettis à rester constamment sur trois plans fixes.

Nota. On trouve pour résultat une surface du second ordre dont le centre est à l’intersection des trois plans fixes.

( Voyez les Développe me ns de Géométrie, par M. Dupin, p. 34o.)

6°. Quel est le lieu des centres de gravité des volumes de tous les tétraèdres qui ont un volume constant et un angle trièdre constant donnés ?

Nota. Le lieu cherché est une surface, du troisième ordre dont les plans coordonnés sont les plans asymptotiques.

7°- U lieu des milieux des cordes menées à une section conique quelconque , par un même point quelconque de son plan, est une autre section conique.

8°. La somme algébrique des distances des trois sommets de la face hypoténusale d’un tétraèdre inscrit à une sphère , à un plan d’un gmnd cercle quelconque , est égale à la di -

stance du sommet opposé du tétraèdre au plan du même grand cercle.

9°. Le plan qui divise Vun des angles dièdres d’un tétraèdre en deux parties égales , partage l’arête opposée en deux segmens proportionnels aux aires des faces correspondantes de ce tétraèdre.

i o°. La droite qui, partant du somme t d’un tétraèdre , fait des angles égaux avec les trois faces adjacentes , remcontre sa base en un point tel, qu’en le considérant comme le sommet commun de trois triangles ayant pour bases les trois côtés de cette base , lés aires de ces triangles sont proportionnelles aux aires des faces correspondantes du tétraèdre.