CHAPITRE PREMIER

, Théorie générale des osculations.

Osculation des courbes planes.

178. Il, ne s’est agi, dans le n° 5a , que des droites tangentes aux courbes planes, c’est-à-dire que des sécantes dont les deux points d’intersection coïncident. Ce n’est pas , néanmoins, la seule manière d’envisager les tangentes : en effet , on peut les regarder comme le prolongement de l’élément de la courbe; ou, plus exactement, une droite est tangente à une courbe, lorsque, entre elle et cette courbe, il est impossible de mener, par le point commun, aucune autre droite. Par analogie , les géomètres ont comparé les courbes entre elles, et cherché à connaître les conditions analytiques auxquelles il fallait satisfaire pour qu’une courbe d’une espèce ddtméc s’approchât, dans un petit espace, le plus possible d’une autre courbé quelconque : ils ont même appliqué ces considérations aux surfaces courbes.

Afin tle présenter la théorie des osculations sous le point de vue le plus général, et de suppléer par là à ce qui manque dans la plupart des livres élémentaires qui traiteut du calcul différentiel , je vais donner le précis de celle que Lagrange a exposée d’une manière élégante et lumineuse dans sa Théorie des fonctions analytiques : ensuite j’en ferai, d’après Monge , l’ application à la recherche des équations de certaines surfaces courbes. Je supposerai donc ici que le lecteur est imbu des principes du calcul différentiel.

Suivant le Théorème de Taylor (3e édit du Cal. diffèrent, èlém. de M. Lacroix ) , si y est une fonction de x, ou , ce qui est de même, si l’équation d’une courbe quelconque est représentée par y=f(x), et que l’abscisse x reçoive un accroisement quelconque h, l’ordonnée y variera en même temps d’une quantité h, dont la valeur sera donnée par la série

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