dx
Aa-|-
i.2.3. dx 3
et dans laquelle nous supposerons qu’aucun terme ne devienne infini. Mais en désignant, pour abréger, les coefficiens différentiels successifs, ;par p' , p" , p" } on a
£a.+eLA3+ .
Soit une autre courbe donnée par l’équation = F (x' ). Si x' reçoit le même accroissement h, y deviendra en général y -f- k' ; ainsi, on aura
Maintenant, la condition d’un point commun aux deux courbes donne y'=y, ou puisqu’alors
V —x\ et la distance A de ces deux lignes, mesurée sur l’ordonnée qui répond à l’abscisse x h est , en général ,
Cette distance deviendra évidemment d’autant plus petite qu’il y aura plus de termes qui disparaîtront à l’origine de la série.
Considérons une troisième courbe dont l’équation soit y"— <P {x"), et qui passe par le point commun aux deux autres, auquel cas y" z=z y. Alors, si D exprime la distance de celle-ci à la première, mesurée de même sur l’ordonnée répondante à l’abscisse x -f-A, on aura, comme ci-dessus,
et si, dans la valeur générale de A,p — q =o, ou aura seulement
A=(pW;)£-HpW)t^3+ .
Or , le rapport ^ devenant d’autant plus petit que h est
moindre, il arrivera que, pour de certaines valeurs très petites de h, on aura A D ; donc, tant que cette inégalité subsiste , c’est-à-dire tant que l’on n’a pas p' — r — o , la troisième courbe ne peut passer entre les deux premières : celles-ci se touchent donc au point commun. Le contact
qui a lieu lorsque F (* ) =/(*) } et ^ ’
est dit contact simple j ou du premier ordre.
Quand les deux premiers termes de la série générale A disparaissent , sans que h soit nul, on a h3
rilOl'OSITIONS
ainsi, par rapport à la troisième cou rbc , pour laquelle les deux premiers termes ne disparaissent pas de la série D , il s’ensuit de même que A D, pour des valeurs très petites de h. Cette troisième courbe ne peut donc passer entre les deux autres, dans le cas où l’on a à la fois y = y ,
q' — p , g" =p" ou F (*)=/(*), ,
dx
d* F (x) dlf(x )
= — ~r^— • Dans cette circonstauce , les deux premières courbes forment un contact du second ordre, et il est remarquable alors que la courbe touchante ou osculalrice passe au-dessus et au-dessous de la courbe touchée; cela est une suite de ce que h? change de signe lorsqu’on met — h au lieu de -f- h ( n° 62 , Cale. dif. èlèm. L. C.)
En général, pour que deux courbes soient rapprochées l’une de l’autre, auprès de leur point commun, de manière à former un contact de l’ordre n , il faut égaler entre eux les n premiers termes des valeurs de k et k'.
179. Pour répandre plus de jour sur cette doctrine, passons aux applications.
D’abord , soity = F ( x ) = Ax -{- B l’équation de la droite touchante, dont la position sera 'déterminée par les deux constantes A , B. Comme au point de contact, on a, d’après ce qui précède,
, dy dy
y=y>d7 = Tx>
il s’ensuit que l’équation de cette droite donne, en la différenciant,
dx '
donc A = — ;
dx
par conséquent les deux relations qui existent entre A et B sont
et fournissent
de géométrie.
r— dy
Ainsi , l’équation de la tangente à une courbe quelconque
est
' dy , , V
et puisque la normale est perpendiculaire à la tangente , on a, pour son équation,
dy
f dx , , .
Le rapport ^ s’obtient en différenciant l’équation de la
courbe h laquelle on doit mener une tangente , ce qui revient à la méthode élémentaire que nous avons exposée au n° 52.
Pour seconde application , comparons le cercle avec la courbe proposée y =/(*), et, dans cette vue, prenons pour équation de sa circonférence
(*' — *)a (y — fl)* = y* ; (i)
en la différenciant , on obtient
et par conséquent
dy' , — et
dx ^ y — /? ’
ainsi , à cause des relations y = ^ ^ ^ , on a
(* — «)* + (y —py=.y% p' — — d’où l’on tire
Telles sont les coordonnées du centre du cercle-, coordonnées qui seront entièrement déterminées si le point
de contact et le rayon sont donnés, puisque p' = ^ se
tirera de l’équation de la courbe proposée. Mais si l’on attribue différentes valeurs au rayon, et que l’on élimine ce rayon entre ces deux dernières équations , l’on aura
dx
Celle-ci qui appartient évidemment à une droite dont, les coordonnées sont », fi, est normale à la courbe proposée, et représente , par conséquent , le lieu de tous les cercles susceptibles de former un contact simple avec celte courbe.
Puisque l’équation générale du cercle renferme trois constantes, et que l’on en détermine seulement deux lors du contact du premier ordre, on peut supposer que le cercle satisfait aux trois conditions suivantes :
dÿ dy d'y' dy
y ’ dx ' dx ’ dx '* dx* ’
ou
y~yy q—p, q = p"-
Dans cette hypothèse, l’équation précédente (i) donnera, après l’avoir différenciée deux fois de suite , et avoir changé x' eu x et y en y ;
(* — *) + (y — fi) ^ = o , (2)
, + d£ + ^ <3> Tirant de celles-ci les valeurs de x — cl et y — P, pour
les substituer dans (i), on obtiendra définitivement p y p" ’
(* 4- p'a)a (^2+ dyy*
y p" dxd'y
De cette manière , le cercle cherché, que l’on nomme cercle oscillateur, sera déterminé de grandeur et de position , et jouira par rapport à tous les cercles qui forment un contact simple, de la même propriété que la tangente à l’égard des sécantes. Le rayon y du cercle osculateur s’appelle aussi rayon de courbure, parce qu’il est commode de mesurer la courbure d’une courbe par celle de ce cercle.
On voit , par cette théorie , qu’une courbe osculatrice ne peut être de l’ordre n, à moins qu’elle n’offre n -+- 1 constantes dans son équation. Ainsi , par exemple, la parabole cubique y =a -f- bx ex* dx3 est susceptible d’avoir au plus un contact du troisième ordre, parce que les constantes a , b , c , d , que l’on nomme èlèmens du contact , sont au nombre de quatre.
Dans l’expression précédente du rayon de courbure, dx est supposé constant : or, comme la différentielle de l’arc s est
ds = dx*-{-dy* , il est clair que ds 3 (dx* -f- dy*Ÿ »
par conséquent
ds *
Mais en prenant la différentielle de et faisant tout varier, ce qui établit l’hypothèse que x et y sont implicitement fonctions d’une troisième variable, on a cette expression symétrique,
ds3 ( dx * -f- dy* )“
J dxd'y — dydJx dxd'y — dyd*x'
Lorsque ds est considéré comme constant , on trouve , en différenciant ds — y dx * -f. dy* dans cette supposition ,
ou d‘x-=-d£<rr,
partant ,
dyds dxds
Dans les applications, soit que l’on emploie l’une ou l’autre de ces trois formules, on parviendra toujours au même résultat.
180. La méthode qui vient de nous faire connaître le rayon de courbure, s’applique avec le même succès aux courbes rapportées à des coordonnées polaires. Voici , en peu de mots, comment il faut procéder pour obtenir, dans cette hypothèse, l’expression de ce rayon.
Soient r le rayon vecteur, et <p l’angle qu’il fait avec l’axe des x\ on aura, n° 48 ,
x = r cos <f> , y — r sin p.
Or, l’équation (1) du cercle osculateur (n° 17g) devient,1, au point de contact,
(r cos Q — a.y -f- (r sin Q — /3)a = y*. (m)
Donc, si l’on différencie deux fois consécutives, par rapport à r et à <p , et en regardant dp comme constant , on aura ces deux équations
(rcos*-«)(^ cos ?-rsin<p) + (r sin?-/3) (ÿin0+rcosç>)= o» (Ie05 V-r sin + (rcosç— *)(^cosp— 2^s\np - rcosp)
+(^sin?+rcos<p) •f(rsin^— ^)(^sin^-l-2^cos^--rsin^= 0,
GÉ0M£TRlli. ^l5
desquelles on tirera les valeurs de • ( r sin 9 — ■ 0) et de ( r cos Q — a), que l’on substituera ensuite dans l’équation ( m ), et l’on trouvera définitivement , pour le rayon osculateur dans les courbes polaires ,
c’est à quoi M. Lacroix est parvenu par un autre procédé. ( Traité èlém. du Cale. dif. , n° 1 26.)
Puisque la grandeur et la position du rayon de courbure dépendent des valeurs des coordonnées du point de contact , on conçoit que le lieu géométrique de tous les centres des cercles osculateurs sont sur une certaine courbe dont l’équation en * et /3 doit s’obtenir en substituant dans celles (2) et *
(3) du n° précédent , les valeurs de y . en fonc-
dx dx*
tion de x , déduites de l’équation de la courbe proposée, et ensuite en éliminant x entre ces deux résultats, afin d’en obtenir un troisième indépendant des valeurs particulières des coordonnées du point de contact. C’est cette courbe que 1 on nomme développée : elle jouit de plusieurs propriétés remarquables; par exemple, elle est toujours rectifiable pour les courbes algébriques , parce que la longueur d’un de ses arcs est la différence de deux rayons de courbure correspondant aux extrémités de cet arc ( voyez le Traité cité de M. Lacroix) , et elle est touchée par tous ces rayons de courbure.
Les points de la développée peuvent encore être considérés comme les intersections de deux normales consécutives à la courbe proposée ou à la développante. Soit , par exemple , l’équation de l’ellipse,
(rarfpa -f-dr*)*
a -f- 2 dr*dç> — rd'rdq *
rapportée * son centre et à ses axes principaux ; celle de fa normale à cette courbe , passant par le centre a. , £ , du cercle osculateur , est , d’après le numéro précédent ,
B4* (/3 — y ) = A*y (et — *) ,
ou
et l’on aura l’équation relative à la normale infiniment voisine de celle-ci, en différenciant (2) par rapporta ar et y ,
puis mettant au lieu du rapport sa valeur déduite de l’é¬
quation (ï) ; ce qui donnera ,
fi ~
Il reste à éliminer x ,y entre cette équation et celles (1,2), pour avoir l’équation de la développée en et et |8 -, mais en égalant chaque membre de l’équation (2) à A4 , on a
Aast B3fi A4 — A4 ’ y ~~ B4 — A4 ’
et ces valeurs changent les équations (1 , 3) en ces deux autres ,
Aaat4 B4ySa
(Aa ~ *a)a + (B4 - a4)4 A4*a B3/3a
en sorte qu’il ne s’agit plus que d’éliminer a4 entre ces dernières , pour avoir l’équation cherchée. Dans ce but , soient , pour abréger , A4*4 = m‘ , B4jS4 =r n3; les équations (1', 3') seront
(Ba-Aa)a
(Ba— A2)3
et comme la seconde peut s’écrire ainsi ;
co
ch
on en tire aisément, après avoir extrait la racine cubique > et chassé les dénominateurs,
par suite A2 — Aa
Substituant ces valeurs dans (l") et remplaçant m, n par* les leurs, il vient enfin
c’est là l’équation de la développée de l’ellipse , qu’il fallait trouver , et à laquelle on parvient d’ailleurs plus aisément par une autre considération.
181. Actuellement , il importe de faire connaître cornment on détermine l’équation de la courbe qui en touche une infinité d autres d’une nature donnée , et assujetties à se succéder suivant une loi connue.
Pour bien fixer les idées à cet égard , concevons qu’un cercle variable de position se meuve dans son plan, de maniéré que le centré se trouve toujours sur une courbe dont l’équation soit y — ?(*), ç> étant le signe d’une fonction
donnée. Celte du cercle étant (* — *)2 + (y fi)* = r2
les coordonnées *, /3 du centreront liées entre elles par l’équation («0 , en sorte que la précédente pourra être
FROFOSITIONS
écrite ainsi:
(jf — et)4 -\-\y — <P («03* — r>- (n)
Or si l’abscisse * reçoit un accroissement infiniment petit Ja , le cercle , qui ne changera pas de grandeur , prendra une nouvelle position infiniment près de celle qu’il avait d'abord , et sa circonférence coupera la première en deux points dont les coordonnées * ,y seront communes à ces deux lignes , et par conséquent ne varieront pas en passant d’un cercle à l’autre. Si l’on passe de la même manière de cette 'seconde position à une troisième, et ainsi de suite , le système de tous les points d’intersection que l’on obtiendra d’un même côté de la ligne des centres formera une courbe-qui sera celle de contact cherchée. Pour en avoir l’équation , il faudra donc différencier (») par rapport à « seulement , et égaler cette différentielle à téro j ensuite éliminer « entre ces deux équations , et le résultat de l’élimination offrira une relation entre ,ety, indépendante de la position du centre de tous les cercles enveloppés.
Soit , en général , V =/ (*, y , «) = 0 » équation de la courbe génératrice , et dans laquelle» est une constante arbi traire : on aura ces deux-ci :
entre lesquelles on éliminera la constante dont il s’agit, pour déterminer l’équation delà courbe qui touche toutes celles que l’on obtient en attribuant à cette constante toutes les
valeurs possibles dans l’équation V = o.
11 est facile d’après cela , de reconnaître que l’équation (4) du numéro précédent, provenant de l’élimination delà constante arbitraire A, entre (i')et (3'), que l’on peut représenter
respectivement par V= O , ^ = o , est aussi l'enveloppe de toutes les ellipses résultantes de (i ).
Dli GÉOMÉTRIE.
182. Ce qui peut être abstrait dans cette théorie sera plus facile à saisir en passant aux applications. Supposons d’abord qu’il soit question de déterminer la ligne touchant à la fois tous les cercles de même ray oji , et décrits de tous les points d'une droite donnée sur un plan, comme centres .
Soient
l’équation de l’un de ces cercles, et
l’équation du lieu de leurs centres. Puisqu’on aura entre « et ^ la relat.on fi = A« , Ia première équation deviendra , en y substituant pour fi sa valeur,
laquelle étant différenciée par rapport à « seulement donnera
(x — a.) + (y — Aa) A — ~ 3^ o
d’où
« = 5±Ar
Mettant cette valeur dans V, on obtient
A*** ~ ^ Axy +y=r> (A8 + i) •
et , extrayant la racine carrée de part et d’autre, on a pour les équations des deux tangentes cherchées,
J' = Ax — r(Aa + 1).
Ces tangentes sont donc parallèles à la ligne des centres , ce qui est d ailleurs de toute évidence.
Cherchons actuellement quelle est la courbe qui touche à la fois tous les cercles (1) décrits du même rayon , mais
dont les centres sont sur une même circonférence donnée par x'a + y'a = pa-
Alors la relation entre * et £ sera
«a + F = Pa»
et l’équation (i) se changera en celle-ci:
de là
et par suite
v/af* -hj'* V/*a + yA
Mettant ces valeurs dans (i) , et faisant, pour simplifier , x» -H y1 = za , on aura
za — 2 pz + pa = r3;
d’où l’on tire
z=f±r, et z* = (f±rY,
ou enfin
^-H^a = (p±/)ai
c’est-à-dire que les deux courbes de- contact cherchées sont des cercles dont le centre commun est à l’origine des axes, et dont les rayons sont p -f- r et p — r. On reconnaît sans doute cette vérité indépendamment de tout ce calcul ; mais il est utile dans les premières applications d’une théorie, de choisir de préférence des exemples qui amènent à des résultats connus d’avance , afin d’être mieux pénétré de l’exactitude des opérations algébriques auxquelles cette théorie donne lieu. C’est par un procédé analogue , que M. Lacroix , dans son Traité de calcul différentiel , in-4° , a déterminé les équations des roulettes en général , et de la cycloïde en particulier.
"V oici encore deux autres problèmes dont les solutions reposent sur la théorie précédente.
1 83. Déterminer toutes les lignes qui retranchent des surfaces équivalentes d’un angle donné:
|[ Fig. 96. J Prenons pour axes des x et des y les côtés mêmes de l’angle donné XAY, et supposons qu’une des droites cherchées soit RN , c’est-à-dire que l’espace triangulaire NARsoit équivalent à y°. Comme l’équation de la droite RN est généralement
on aura AN , ou x=^ — — , et AR, ou y = N; et, à cause
ANX AR . , Na .
(le q * == - - - — s*n p, il est clair que $r= — sin f ,
‘d’où l’on tire
l’équation de cette droite devient donc
N* sin <p , „ , .
Or , si une autre droite R'N' est infiniment voisine de celleci, et que l’espace AN'R' soit encore équivalent à q a, les deux droites dont il s’agit auront à leur point M d’intersection les mêmes coordonnées; ainsi, dans l’équation (a) , la seule quantité qui aura varié sera N : il suit donc de là que si l’on différencie cette équation dans cette hypothèse, la résultante donnera
x sin ç>
et , partant , on aura
M= - il — ;
2x‘ sin f
l’équation (l) se changera donc en celle-ci:
par conséquent
2x3 sin <p x sm 4
2 sin ç
est le lievr hyperbolique des points M d’intersection de deux droites consécutives quelconques NR, N'R', qui résolvent la question. Ces droites sont donc tangentes à cette courbe.
Maintenant, si l’on demandait de déterminer la position de la tangente qui correspond à la normale passant par le sommet A de l’angle donné, on s’y prendrait ainsi qu’il suit :
L’équation de la tangente à la courbe actuelle est
ou bien
yx -f- xÿ z=z iXy \ (4)
et de là on tire
AN = 2x, AR = 2y.
Pour déterminer l’équation de la normale passant par l’origine, il faut faire usage des formules du n° 46, relatives aux coordonnées obliques. De ces formules, et de l’équation (4) de la tangente, qui peut être écrite ainsi:
Ax' + B/ = f ,
on déduit
A — B cos ( x,y ) sina(*,.y)
B — Acos (*,y) .
sina(*,jO
ainsi l’équation de la normale, qui est y =
-x , devient
y - * ~~ y cos (*> y) x\
y x cos ( x , y)'
Mais au point de contact, x et y' se changent respective* ment en x et y : cette dernière équation donne donc
D’où il suit que lorsque la ligne RN gst perpendiculaire à la droite normale passant par l’origine, on a.... AN — AR = 'Cette normale divisa donc eu deux parties égales l’angle donné. Mais l’équation (3) de la courl>e fournit alors
donc
AN
= AR = \/ -X, V sui <p
donc la tangente cherchée est la base d’un triangle isoscèle.
Nous ne nous arrêterons pas à prouver que , dans ce cas , cette base est un minimum parce que cela ne présente aucune difficulté.
l84> Déterminer l* équation d* une caustique par réflexion. Si d’un point lumineux situé dans le plan d’une courbe, partent une infinité de rayons de lumière , et que ceux qui frappent cette conrhe soient réfléchis de manière que l’angle de réflexion soit égal à l’angle d’incidence , il existera une courbe qui sera touchée par tous ces rayons : telle est celle que l’on nomme caustique par réflexion.
Cela posé , soient XY les coordonnées rectangles d’un point lumineux ; l’équation d’un rayon de lumière sera
Si ce rayon frappe, en un point xy , une courbe de l’équation
qui a pour différentielle
mdx -f ndy = o, (F)
il se réfléchira suivant une droite dont nous représenterons l’équation par
et les deux lignes (a) , (a) formant des angles égaux avec la normale à la courbe (F) , on exprimera cette condition ainsi qu’il suit :
D’abord l’équation de la normale est (n° i49)
y — y —-ix — x)\
et l’angle 0 qu’elle formera avec la ligne d’incidence (a) ,
aura pour tangente, tang 0 = - - : or, l’angle de
ni -f- an °
réflexion étant çgal à celui-ci , il est évident que les deux lignes (a) , (a') formeront entre elles un angle 20 , dont la tangente sera
taug 2 0 =■
2 ( n — am) (/re + are) (/re + anY — (n — a/re)*’
mais parce que l’on a en outre
tang 20 =
i 4- au ’
il s’ensuit qu’en égalant ces deux valeurs, on obtient une équation de laquelle on tire , apres l’avoir divisée par
a> an? -f- 2/rere — am?
2 amn — n* *
Celte expression devient fonction du point incident xy et du point lumineux XY donné, en y mettant pour a
sa valeur J-r~ — ^ ; ainsi l’équation du rayon réfléchi , est
IÎE GÉOMÉTRIE.
aii1 -\-o.mn — cuti 2 m* — ïamn — n a
Or, d’après ce qui précède, si l’on* passe de ce rayon à celui qui en est infiniment proche, "ces deux rayons auront, a leur point d'intersection, les mêmes coordonnées * y y 1 et les seules quantités qui auront varié seront x , y . Supposons donc qu’on ait mis dans (a") , pour x' sa valeur tirée de l’équation (F), et qu’on ait élimiué la variable ÿ entre l’équation {a ) et sa différentielle, on aura l’équation demandée de la caustique par réflexion.
Celles des caustiques pat' réfraction s’obtiendraient pur les mêmes principes.
Osculation des courbes à double courbure.
i85. Nous avons déjà dit, au n° 143, qu’une courbe à double courbure appartient à la Géométrie des trois dimensions , et qu elle est donnée , dans l’espace , par l’intersection de deux surfaces courbes connues, sur lesquelles elle se trouve a la fois. Soient donc
les équations des deux projections de cette courbe (n° 123) sur les plans coordonnés xy , xz; et supposons qu’ une autre courbe soit donnée de meme par
/=<Kx'), *'=♦00.
Si l’on veut qu’elles aient toutes deux un point commun pour une même abscisse x, il faudra qu’en faisant x' — x, on ait en même temps/ =y et z' = x. Or , pour un point répondant a l’abscisse x + /i, les ordonnées y, z deviendront respectivement
y j 1 —y j jty h , &y J£
dx dx* 1.2 +
(lx dx* 1 . 2
et les ordonnées* / , z se changeront en / 4. k* ; z -j- /' ,
de sorte que si, pou* abréger, on fait
Y=a(y + *) — (V.+ O, et Z = (*+ /)-(*' +!)>
la distance A entre les points des deux courbes, qui répondent à la même abscisse x -f- h aura pour expression
Ainsi , pour une troisième courbe
la distance D entre elle et la première courbe, répondant à l’abscisse x -+■ h dont il s’agit, serait
Or, par des raisonnemens semblables à ceux du n° 178, on prouvera que, pour un contact du premier ordre, on doit avoir
, , dy dy dz dz
y y ' 2 2 ’ dx ' dx ’ dx dx ’
parce qu’alors la troisième courbe, pour laquelle ces conditions ne se vérifieraient pas, ne pourrait passer entre les deux autres , puisque l’on aurait A D.
La seconde courbe formera donc avec la première, un contact du second ordre , si l’on a
* , dy dy d?z d*z
y, z z , cfa, — - ^ (A*
et ainsi de suite.
En général, soient x, y, z les coordonnées d’une courbe proposée, et x ,y , z celles d’une courbe donnée , pour laquelle on demande les conditions du contact d’un ordre déterminé avec la courbe proposée; si <p {x ,y , z')=n = o, <t> (x,y',z,) = U' = o sont les deux équations de la courbe donnée (n° 1 4^ ) , on aura, pour un contact du premier ordre, les quatre équations
du = o, dU = o,
m et U étant ce que deviennent respectivement u et U' lorsqu’on y change x y z en xyz ; et pour un contact du secopd ordre, on aura, de plus, les deux équations d*u = o , ûPU“0,
et ainsi de suite, en regardant, dans ces équations différentielles,^ et z comme fonctions de x. On satisfera à ces équations par le moyen des constantes arbitraires qui entreront dans les fonctions données u et U', et cela, de la même manière qu’au n° 179.
186. 11 resuite de la que si les deux équations de la tangente à une courbe à double courbure , sont en général
y = kx' B , z' = AV -f- B' ,
il faudra , en vertu des relations précédentes , relatives au point de contact, y écrire *,y,zau lieu de x ,y' , % , et l’on en tirera
% =' A, dx
par suite
ec
™ dz .
donc les équations de la tangente rapportée aux coordonnées x' , y' , z , sont
, dz
ou à cause que rfy d.f(x)
dx dx
dz d . F(jf) dx dx
ces équations peuvent être écrites ainsi :
y -/(*)=V co
i - F (,) - (V - x) F O) ; CO et comme elles représentent évidemment celles des tangentes aux courbes planes (n° 179) qui sont des projections delà cou rbe. proposée, il s’ensuit que le problème de mener une tangente à une courbe à double courbure consiste à en mener une à chacune des deux projections de cette courbe; et en effet , ces deux dernières seront les projections de la tangente cherchée. Cette conséquence est une nouvelle preuve de l’exactitude du procédé employé au n° 1 7 1 > p°ur déterminer le rapport entre un angle et sa projection.
La position du plan normal, c’est à-dire du plan mené par le point de contact , perpendiculairement à la tangente, est facile à trouver ; car , en vertu des équations precedentes, et de ce qui a été dit au n° 124, l’équation différentielle de ce plan est
(*' ~ x')7z + (y‘ ~ y) Tz + (z'
Les équations (1') et (a') ne renferment que la variable *: si donc l’on éliminait cette variable entre elles, on aurait une relation entre x' ,y' f z , indépendante des coordonnées du point de contact , et qui serait évidemment l’équation de la surface formée par toutes les tangentes à la courbe donnée dans l’espace. Il suit de là que , si cette courbe était plane , la surface dont il s’agit serait un plan; mais, dans le cas contraire, cette même surface serait une surface développable dont la courbe proposée formerait l’arête de rebroussement. ( Voyez à ce sujet la Géométrie descriptive de Monge , ou celle de M. Lacroix.)
187. Cest par les mêmes principes que l’on détermine le cercle osculateur d’une courbe à double courbure : voici à cet égard , comment' l’on procède de la manière la plus
de GÉOMÉTRIE. 42g
En considérant le cercle cherché comme un des grands cercles de la sphère
(*' — <*)a + ( y — /3 y -f- (z' — y)‘ = Ja , son plan , rapporté aux mêmes coordonnées, et passant par le point etfiy , a généralement pour équation
et si l’on change ici xy'z ' en xyz, pour exprimer que le cercle cherché a un point commun avec la courbe à double courbure proposée , on aura , en prenant les équations différentielles du premier et du second ordre ,
,+Ml + Nx = °.
dx '
dx*
M5? + Nl? = 0-
De ces six équations , les quatre premières renferment seulement les conditions nécessaires pour que le cercle dont il s’agit forme un contact du premier ordre avec une courbe à double courbure, dont x , y , z sont les coordonnées, et pour laquelle^ ~f (a) , z = F (a) ; mais en prenant toutes ces équations , elles fournissent les conditions du contact du second ordre; et, pour lors , le* cercle , qui se trouve entièrement déterminé de grandeur et de position est , aussi bien que son plan , osculateur de la courbe. Son rayon , situé dans le plan de deux élémens consécutifs de cette courbe, est le plus court de tous les rayons de courbure au même point, situés hors du plan dont il s’agit.
Dans ce cas , si, pour abréger, l'on fait
R = 1/ [(N p — M?')# -f- (N — q')% + (M —p'Tl,
les trois premières équations précédentes donneront ces valeurs
au moyen desquelles la cinquième équation fournira K (1 +/■+?'■) R
Enfin , la quatrième et la sixième équation donneront M = -r„q" -r-Bl N = — -x „ P
qp —pq qp — pq.
et , de là les expressions ci-dessus se changeront en cellesci , après les réductions ,
Çl + p‘+ ?”) ( p'p" + ?'?")
“ ~x p"’+ ?”+ (pq" — q'p’y
. . (I ±£± ?”) Cp"— p' Cp'p*+gV)3
* y+ - p"* + ?"* + (pYWpT
, (■ +p-* + ?'*) iv— p' cpp* +
V=‘+ p-4-V‘ + (pV-îW ■
Ce sont'ces formules mêmes que Monge a obtenues par une autre méthode. ( Voy. sa Géom. analyt., p. 366.)
Leur défaut de symétrie tient à ce que x a été prise pour variable indépendante , mais en faisant varier dx et posant , pour abréger , dx2 -f- dy a dz2 r= ds2 , on obtient , par
èxemple ,
bu géométrie.
V'(dxcPy^dyd^+{dyd'z—dzayy+(dzœx-dxd'zf-
expression qui revient à celle-ci :
v ( d%*Y -h Jdyy (cfzÿ *.
comme l’a fait voir M. Lacroix, et qui eat celle du rayon de courbure absolu. Au surplus, voici, d'après la Correspondance sur l Ecole Polytechnique. tome III p 3g comment on trouve cette expression par la méthode dé Leibnitz.
Soient a , b , e les cosinus des angles qu'un élément de la courbe au pomt xya, fait avec les axes rectangles des coordonnées; a+da, b+db, c + de seront les cosinus des angles que le second clément au même point fera avec les mêmes axes; et l’angle de ces deux élémens consécutifs ou \ angle de contingence étant désigné par V , on aura (n i^O ces relations
cos <P = a(a +da) -f- b(b + db) + c(c +dc),
aa + ^-j-c‘=l,
(a + da)' + (4 + dby + (c + = , .
les deux dernières donnent
. — 2M® + bdb + ede ) = da' -f- db' + de 8 ,
et de la première on tire, en réduisant et négligeant le, infiniment petits du 4e ordre
sin* ? — — <“da + bdb + ode) ( ada + bdb + cdcY — dci ' -f- db' -f- de'.
Or, l’élément ds de la courlw» a„ont ^ ,
’ « tourne ayant <p pour amplitude et
^poue rayon, on a nécessairement 1= - ; de plus , à
. dx h__dy
cause de * — ° ~ ds ’
c — ^ , et de 1* extrême pe-* as
titesse de <p , on a , comme il est dit ci-dessus ,
lia courbe des centres de tous les cercles osculateurs n’est pas une développée , comme dans les courbes planes. Il y aurait encore bien des choses importantes à dire sur le sujet actuel; mais pour ne pas sortir des bornes d’un ouvrage élémentaire, nous renverrons au Cale, diffèrent, et intègr. de M. Lacroix , tom. I.
Osculation des surfaces courbes.
1 88. Une surface étant donnée par une seule équation entre trois variables, une d’elles est fonction des deux autres , et celles-ci sont indépendantes entre elles. Ainsi , en représentant par
les symboles des équations de deux surfaces qui passent par le même point, on aura, en changeant * en x -\-h , et y en y + k.
séries que nous représenterons plus simplement par
s -f- / == z -f ph 4.
~h i (rA1 -f- ash/b -j- tk')
et
*'+ V — z'+ PA + Q*,
+ s (RA2 -h zSht -h Tl>)
et dans lesquelles nous supposerons qu’aucun terme n’est infini. Or, au point commun, on a x'= x ,/=y , z'=z « et la distance des deux surfaces, mesurée sur l’ordonnée qui répond à x -f- h, ety + jb}est
A = ÇP — P)h + (Q — q)k + ï C(R — r)h a -f- a(S — s)hk -f (T— *j*»j
Il faut donc d’après ce qui précède, que, pour un contact t premier ordre , on ait P-p = o, Q - q = c, ou, ce qui est de meme , n
car une troisième surface qui ne remplirait pas ces conditions, ne pourrait passer entre les deux autres, du moins tant que les termes du premier ordre seront plus grands Çue ceux des Ordres supérieurs; et c’est ce qui arrivera en prenant h et k assez petits pour cela.
Quant au contact du second ordre, il aura lieu si l’on a de plusR r o, S *=o, T — tz=. o ; et ainsi de suite pour les contacts des ordres plus élevés.
Afin de nous arrêter au cas particulier que nous avons déjà traité par une autre v*e, nous supposerons que la surface touchante est un plan ; alors l’équation z' = F /) prendra cette forme,
*'= By' + D;
et , à cause des équations de condition précédentes, on aura , au point de contact ,
z = Ax -+- By ■+* D -,
puis, en différenciant successivement par rapport à xeiy, on trouvera
de là m
«“—(aâ—U)*''
l’équation du plan tangent à une surface courbe quelconque
est donc
* =(%yx'~-x)+(&)b,~y)
x , y , z étant, les coordonnées du point de contact , et p, q des coefficiens aux différentielles partielles.
Maintenant, il est très aisé de déterminer les équations de la normale à la surface proposée, c’est-à-dire de la perpendiculaire au plan tangent: en effet, il résulte du n° i*4» qu’elles sont
x',+p(î'a) = o, /— J + ?0'-2) = °- W 189. Appliquons d’abord cette théorie à la recherche du plan tangent aux deux cônes droits .(*) (as + by+ cz)a=(*a4-ya + ^) cosa r ,
(a) za sin* r — (*a-h,ya) COSa r" ,
traités au n° i45. De la seconde équation l’on tire
* = ‘cotV, eot* / ;
dx z <fy z
substituant ces valeurs dans l’équation générale du plan tangent , savoir :
I>E GEOMÉTRlfc.
dz dy
dz dz
et réduisant , il vient
(3) ZZ sin* r" = (xx' + yy' ) COs*
S,/, *' étant les coordonnées courantes et x,y, a désignant les coordonnées du point de contact.
L’équation du plan tangent au cône (1) se trourc par un calcul semblable, et est, toute réduction faite,
(4) («t'-by'+tt') cosV ={ax'+iy+cx')(ax+by+cx).
Pour avoir facilement celle qui convient à la fois auv deux cônes proposés, l’on remarquera que la perpendicula.ro aba.ssee sur le plan tangent (3) , du centre de la base du cône r , dont les coordonnées rectangles sont a b c a pour express, on sin r; ainsi, en vertu du I on a
sin r — ~~(ax + h) cosV'4- Cz sin9 r"
VI ** 4*^a ) COS* r" +>• sin* r* * ou plus simplement, à cause de la relation (2),
sîn r = — ( ax + by ) cosa r” 4- c* sin* ru * z sin r" *
et enfin , comme au n° i53 ,
(ax ~h h*) cos* /' = s(c sin* r" — sin r sin r").
Passons maintenant à la solution du problème suivant que nous avons déjà résolu en deux dimensions.
Ètani données dans l'espace la position d'un point lumineux et la direction dun des rayons qui en émanent, et qui viennent frapper une surface connue , déterminer l'équation du rayon réfléchi.
Non-seulement comme nous l’avonsdéja dit, l’angle d’incidence est toujours égal à l’angle de réflexion; mais l’ex-
périenco prouve, en outre, que ces deux angles sont dans le plan qui passe par la normale au point d’incidence.
Cela posé , soient X , Y, Z les coordonnées rectangles du point lumineux j les équations des projections d’un rayon de lumière seront
mais pour rendre les calculs plus symétriques , nous donnerons à ces équations , la forme suivante : a(2-Z)=c(ï-X), J(=-Z) = cO"-Y)j (a)
et comme la surface réfléchissante est connue, nous représenterons son équation par
F(x\/, z') = o, mdx' -f- ndÿ -f- rdz = o. (F) Or, le rayon incident dont il s’agit, étant réfléchi suivant une droite partant du point xyd de cette surface, ses équations seront , en général,
aXz—z) = c\x — x), &'(s — c'(jy y )■ {a)
Les deux lignes («),(«') formant des angles égaux avec la normale à la surface, le cosinus de l’angle d’incidence sera égal au cosinus de l’angle de réflexion j ainsi , en vertu du n° 120, cette condition sera exprimée par l’équation am -f- bn *4- cr dm -f- b (4)
(aa-f- (a'a -4- + ca)a
Il reste à écrire analytiquement que le rayon incident ( «) , le rayon réfléchi (a') et la normale, sont dans un même plan. Pour cet effet, soit
A(* — *' ) ~f- h Cy — y') +C(z — —
l’équation de ce plan ; celles des projections de la normale seront, à cause de l’équation différentielle (F) de la surface réfléchissante,
/re(z — z) = r (x— x), n (z — z ) = r(y — y )î (N) et la condition du n° 126, qui exprime qu’une droite est parallèle à un plan, fournira ces deux équations,
Art -J- B/> 4" Ce — O ,
A/rt-j- Bn -f- Cr = o.
Si donc l’on fait usage des valeurs de A et B , déduites de ces dernières équations , l’on aura , pour équation du plan passant par la normale et le rayon incident,
(en — br)(x — x')-f -(ar—cm)(\ — y)‘\-(bm—ari)(z — z')= o;
et si l’on met ici , pour x — xr et .y — y , leurs valeurs fournies par les équations (a) , la condition cherchée sera a! (en — br)-\- br(ar — cm ) -f- c'(bm — an) = o ; (c)
alors des équations (b) , (c) , l’on tirera
a 7»;-(ga+6a+ca)-Kcrt— br)(bm — an)±(ar — cm)(am-j-bn-j-cr)
c — (c/1 — iry — (ar — c/re)a
n.r(rta-f-6a-f-ca) ~f~(ar — cm)(bm — an)±.(br — en) (am-\-hi-\-cr)
c r,(aa-f-Àa4-ca) — (en — 6r)a — (ar — cni)*
c’est-à-dire , à cause du double signe,
ou
a ' i(am -f- bn -f- cr) m — a(m*-\-rii -f- r2) "j
c' 2 (am -\-bn-±-cr)rr — c( m2 -J- ra2 -f- ra) * f
br 2( am -f -bn-\- cr) n — b( ma -f- rea -f- ra) f
c' z(am -+-bn-{-cr)r — c( m* -J- n* -J- ra ) J
Dans le premier cas, les valeurs de et\ se rapportent
au rayon incident; et, dans le second cü, elles appartiennent au rayon réfléchi. La position de ce dernier sera donc connue si celle du rayon incident est donnée ; et pour qu’elle ne dépende que des coordonnées xr, y , z et X,Y,Z, iln’y aura qu’à mettre, dans les formules (t/),aulieu
, a b . . ar' — X y — Y
de-, -> leurs valeurs respectives —, - .
ce ’ z ■ — A z, -r- f ,
Supposons à présent que tous les rayons incidens soient parallèles à l’axe d’un paraboloïde de révolution de l’équation
*»+y*=ùx',
u étant le paramètre; et cherchons , en vertu de cette hypothèse , les équations des rayons réfléchis. Dans cette circonstance , on aura évidemment a — co , et pour lors les formules ( d ) se réduiront à
a 7rca — (raa -f- r*) &' n
c' imr • * d r 1
les équations ( a ') prendront donc cette forme
, 2 mr , , .
En second lieu , l’équation différentielle du paraboloïde étant
ux — 2 ydy — 2 zdz = o ,
on en tire
et si , dans (a") , on fait z = o , pour trouver, sur le plan des xy7 les coordonnées du point oh les rayons réfléchis rencontrent ce plan, on aura
c’est-à-dire que, si la surface concave d’un paraboloide de révolution est frappée par des rayons parallèles à son axe tous les rayons réfléchis se réuniront au foyer. (N° 162.
Les formules ci-dessus mettraient aussi en évidence cette propriété, que si, dans un ellipsoïde de révolution les rayons
DE OÉOMÉT1UE. 4^9
incidens partent <P un foyer, tous les rayons réfléchis se réuniront à Vautre foyer.
Un des plus beaux Mémoires qui aient été publics sur la Géométrie analytique appliquée à l’Optique, est celui de Malus, à qui l’on doit des découvertes très importantes sur la lumière. Ce Mémoire, dont ce qui précède est extrait en partie, se trouve dans le i4* cahier du Journal de V École Polytechnique.
igo. Pour appliquer encore la doctrine actuelle à la recherche des contacts , déterminons les coordonnées a , [ 3, y du centre de la sphère touchante , dont le rayon est é', et qui est supposé former un contact simple. Son équation étant
(*' — *)“ + (/ -/Sy + C*' — *)•==**,
on aura , en changeant respectivement xf , y ' , z' en x , y , z , et en différenciant successivement par rapport à x et y ,
(*-«)•+ ty /»)*+(*—*)*= >*, (*)
Voilà donc trois équations entre x — et, y — /3 , z — y ; ainsi
Dans ces valeurs , le rayon de la sphère tangente est arbitraire; et si on l’élimine des deux premières, on aura ces deux équations :
a. — x 4 'Pb — z) = o , /3 — y -f q{y — z) = o ,
qui sont les mêmes que celles de la normale à la surface proposée. Concluons de là que les sphères touchantes ont toutes leur centre sur la normale menée par le point de contact.
Les équations (i) , (2), (3) faisant seulement connaître trois des constantes *, 0 , y , f , il serait nécessaire , pour que la sphère proposée devînt osculatrice, que le troisième terme de la valeur de A (n° 188) fût nul , auquel cas on aurait R - T : 0 , S - 8 - O j T - t - - O J ou
/ d2z\ /d*z \ / daz \ / cPz \ /d*z'\ /aPzN
\dx*) \dx* )* \dxdy) \dxdy )’ \dy,%) \dy*J ’
mais parce qu’il ne reste qu’une constante arbitraire à déterminer , on ne pourra satisfaire en particulier à ces trois dernières équations ; il est donc impossible de trouver , en général , une sphère osculatrice d’une surface , comme on trouve le cercle osculateur d’une courbe. Cependant , si , au lieu d’égaler séparément à zéro les termes du second ordre , comme nous venons de le faire , on suppose au contraire que leur ensemble est nul , on aura cette seule équation
(R — r) h* + 2 (S— s) ht + (T — ou
(R-,.) +2(S-S)îg+(T-()J£=o;
laquelle , à cause de
d’où l’on tire
de GEOMÉTPIE.
+2sdx+ 'as*
Mais parce qu’on a trouvé précédemment . « .
y—z - — ■ il s’ensuit que le rayon
Dans cette circonstance , cette valeur de S' est celle du rayon de la sphere osculatrice d’une section quelconque faite dans la surface proposée suivant la normale à cette surface, et dont la projection de la direction, sur le plan
xy , est déterminée par le rapport Or, la valeur de ce
rapport étant arbitraire , on peut chercher celle qui rend le rayon de courbure £ un maximum ou un minimum. Popr cet effet, il n’y a qu’à égaler à zéro le coefficient différentiel de c’est-à-dire faire ’ — — — = o, ou — = o , <£) '(£)
puisque dans l’expression de «J", le facteur \S i p* + y4 ne renferme point la quantité Mais l’équation (4) pouvant être écrite ainsi :
•on trouvera en la différenciant par rapport à ~ , et en fai-
^ - = o , une équation de laquelle on tirera
PÎ + O+Î1)'
et M + Ms
dje i t
Or , en vertu de cette seconde valeur , l’équation (6) deviendra, après avoir été le facteur commun qui naîtra de cette substitution ,
M* C rt - »*) +M[( l+p')r — 2 pqs+(, +/>") <] » . .
+ ■+/>’+?* / 'W Si l’on met en outre , dans la même équation (6) , au lieu de M sa valeur précédente , on trouvera, après avoir ordonné ,
xt t 1 «— 7*7*3 1 +îa) c 1 +p* y € 1 __ c (
—(*4 -p')s+pqr , ]
Graduons de là que puisque ^-,qui exprime la tangente
trrgonotoétrique de l’angle formé par l’axe des x et la tangente à la courbe de projection de la section faite dans la sphère, est donnée par jine équation du second degré , il y a toujours deux directions différentes suivant lesquelles se fait l’osculation , l’une qui répond à une ligne de plus grande courbure , et l’autre à une ligne de moindre courbure. Mais la position du plan des xy étant arbitraire, on peut la prendre telle, que l’équation (8) des lignes de courbure se simplifie de manière à laisser découvrir aisément la relation qu ont
entre elles les deux valeurs de Par exemple , en faisant
coïncider ce plan avec celui qui touche la surface , et en plaçant l’origine des axes rectangles au point de contact,
de GÉOMÉTRIE. 443
on a nécessairement x 0)y ~ o , z — o, et p ~ o , q = o ] puisqu’alors la normale donnée par les formules(M) du n° 1 88 se confond avec l’axe des z. Cette hypothèse réduit , en effet , l’équation (8) à
dy /r — t
dx\
dans la même circonstance, on a, *— o, /3 — o, et
1 >dy
„ dx'
r + 25 TT ' dx
dy* ’
Or, si l’on représente par m et to' les deux valeurs de %
dx
que fournit 1 équation (g), le dernier terme sera, comme on sait, égal au produit de ces deux valeurs; ainsi donc
mm 1 =0.
Donc, les projections des deux directions cherchées sont, sur le plan des xy ; perpendiculaires entre elles; donc, les lignes de plus grande et de moindre courbure d’une surface quelconque sont à angles droits.
Maintenant, si l’on prend pour axe des * l’une des directions dont il s agit , on aura m o ; et pour l’autre direction qui représentera l’axe des y , la valeur de m' sera infinie. Dans ce cas s = o , comme cela est manifeste d’après l’équation (g), qUi peut être écrite de ces deux manières :
Il résulte de là que, pour une section faisant un angle quelconque V avec le plan des xz , on aura , à cause de tang V — m et de s = o,
i -f- taag* V 7 r -f- t tang* V ’
sin* V
mais, tang V = —^--donc
r cos* V -f- t sin* V '
Pour faire dépendre explicitement ce résultat, du plus grand et du plus petit rayon de courbure , soient p' le premier et f° le second; pour lors la formule (7), dans laquelle il faudra faire p — q = s = o , donnera
tit-.~(r+0±(<~r)
2 rt ’
et l’équation (5) fournira
la valeur ci-dessus de £ deviendra donc
*= ùl .
p'cos^v-fp'si^y
En exposant la Théorie analytique du Sphéroïde terrestre dans notre Traité de Géodésie j tome I, p. 287, nous sommes parvenu , par une autre voie , à cette expression du rayon de courbure; mais la méthode de calcul précédente a toute la généralité désirable.
Nous observerons encore que l’équation (8) se présente souvent sous une forme très simple, qu’il est très utile de connaître. En effet, puisque la différentielle complète de z est dz = dx + Ç-jr) dy = pdx -f- qdy , et
que l’on a de même dp = rdx -f- sdy , dq = sdx -f -tdy , les valeurs de r et de t , prises dans ces formules , et introduites dans l’équation (8), feront disparaître s', de sorte que l’on aura
dp(dy + qdz) = dq(dx -f- pdz). (8')
Voyez j pour le complément de cette théorie, le Traité de Cale, diffèrent, de M. Lacroix, tom. I , et \ Applicat. de l1 Anal, à la Gèom. de Monge, p. 108.
191. Afin de généraliser le procédé du n° 181, cherchons l’équation de la surface qui enveloppe à la fois une infinité d’autres surfaces et , dans cette vue , supposons pour plus de simplicité , qu’il s’agisse de trouver \ enveloppe d’une suite de sphères décrites du même rayon, et dont les centres sont situés sur une courbe tracée dans le plan x y.
Si a , /3 sont les coordonnées des points de cette courbe , on aura, pour son équation,
et celle de la surface de toutes les sphères que l’on considère, sera
r dénotant le rayon.
Cela posé, si a varie d’une quantité infiniment petite d « , la nouvelle abscisse a + da sera celle du centre de la sphère qui, par sa position, différera infiniment peu de la première ; alors ces deux sphères se couperont suivant un cercle qui appartiendra en même temps à l’enveloppe cherchée, et dont les coordonnées de ses points ne varieront pas en passant de la première à la seconde sphère. Donc, si l’on différencie l’équation précédente par rapport à a seulement, celle que l’on obtiendra appartiendra à la courbe de contact dont il s’agit. Les deux équations de cette courbe seront donc
( x — « Y -f- (y —/[a] )4 -f- s* r* , et
Soit, en général, U = o l’équation des surfaces enve-
4^6 rnorosmoNs
loppées , et étant une constante ou un paramètre qui concourt à leur génération; les équations de la courbe de contact de l’enveloppe avec les deux enveloppées consécutives seront
donc, si on élimine entre elles le paramètre fit qui particularise la courbe de contact, l’équation résultante en xyy, z, et en constantes indépendantes de et , sera celle de l’enveloppe elle-même.
Monge a donné à la courbe de contact, dont les équations sont (A) et (B) , le nom de caractéristique de l’enveloppe ou de la surface limite, parce qu’elle imprime à cette surface un caractère indépendant de la nature de la courbe y3 =/*(<«), qui fixe la loi de succession de toutes les surfaces enveloppées. Par exemple, quelle que soit la courbe des centres de toutes les sphères considérées ci-dessus, les caractéristiques n’en seront pas moins des cercles.
11 suit de là qu’en passant de la seconde à la troisiènae enveloppe, pour obtenir une nouvelle caractéristique, et doit, dans les équations (A) et (B), varier d’une quantité infiniment petite d* : cette seconde caractéristique sera donc donnée par
or, celles-ci coupant en général la première, il en résulte que, pour chacun des points d’intersection de ces deux courbes,
UE GÉOMJÉTBIE. 447
Tant que l’on attribuera au paramètre <t une valpur particulière, ces trois équations ne donneront que les coordonnées des points communs aux deux caractéristiques consécutives qui résultent de cette valeur ; mais en éliminant et entre (A), (B), (C), on aura en x, y, z deux équations qui appartiendront a la courbe formée par le système des points d’intersection que l’on considère, et qui sera touchée par toutes les caractéristiques, de même que l’enveloppe est touchée par toutes les enveloppées : cette courbe est Y are te de rebroussement de l’enveloppe, parce qu’elle la sépare en deux nappes distinctes.
S’il arrivait que trois caractéristiques consécutives se rencontrassent, ou que deux caractéristiques vinssent à coïncider , les quatre équations
auraient nécessairement lieu à la fois; or, en éliminant entre elles x}y3 z, on obtiendra une équation unique, qui ne renfermera plus que >•: , et à l’aide de laquelle on pourra trouver le point de l’arête de rebroussement commun à . trois caractéristiques consécutives. Cette théorie est traitée à Pond dans l’ouvrage cité, de Monge : nous nous contentons d’en donner ici une idée.
192. Résolvons actuellement le problème suivant, à, cause de son analogie avec ce qui précède : Déterminer tous les plans qui retranchent dJun angle trièdre une pyramide équivalente à un volume V donné.
Nous imiterons la solution du cas particulier traité, au n° 177, et, à cet effet, nous prendrons, pour équation générale des plans cherchés,
Ax -J- By -f- Cz = f ; (1)
les intersections des trois plans qui forment l’angle trièdre étant prises pour les axes des coordonnées. L’un, de ces plans cherchés coupera ces axes on des points dont les distances
à l’origine seront
P v JL 3 —1.
et, par la théorie du n° 173, le volume donné aura pour
expression
eABC* douA— 6BCV*
L’équation (1) se change donc en celle-ci :
+ 6 B*CVy -f 6 BC2Va = 6 BCV f. (2)
En la différenciant, par rapport à B et à C seulement, là position consécutive à celle qui résulte de cette équation sera donnée par
(2B^-4-Gî — f)-f (2C2 + By — V) (3)
ou , ce qui est la même chose , ces deux dernières équations seront celles de la commune section de deux plans consécutifs. La position de cette droite dépendant de la valeur
du rapport ^,et ce rapport variant nécessairement lorsque la situation du plan (1) change, il s’ensuit qu’en différenciant l’équation (3) dans l’hypothèse que est la seule variable, on aura ces deux autres équations,
2Bjk + C* = p, 2Cz-f-By=p, (4) qui donneront la position d’une autre droite dont le point d’intersection avec la première sera sur une certaine surface courbe qu’il s’agit de déterminer.
Or, en vertu des équations (4), on a
et si l’on introduit ces valeurs dans l’équation (2) , la surface courbe cherchée, qui sera touchée par tous les plans (ï),
en un point x, y, z, aura pour équation
Cette surface sera donc hyperboloïdique.
Nous pourrions, comme au n° i83, nous proposer de déterminer la position de la normale passant par l’origine des coordonnées, mais nous laisserons au lecteur le plaisir d’effectuer lui-même les calculs relatifs à cette solution. Nous observerons seulement qu’il faudrait pour cela employer quelques-unes des formules du n° 128, et avoir égard à ce que
xyz -\~yzx -f- xzÿ ~ 3 xyz
est, n° 188, 1 équation du plan tangent à l’byperboloïde cubique que Ion vient d’obtenir. Alors ce plan, qui serait perpendiculaire à la normale dont il s’agit, retrancherait de l’angle trièdre donné une pyramide dont la base serait un minimum. C’est ce que M. Français a reconnu le premier, n° 10 de la Correspondance sur l’ École Polytechnique.
raurosiTiONs
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