CHAPITRE II
Recherche des équations de différentes surfaces y d'après la considération du plan tangent.
Des surfaces cylindriques.
ig3. Quelle que soit la position du plan tangent à une surface cylindrique, ce plan sera toujours parallèle à la génératrice. Cela posé , soient
x ' as, y — bd
les équations d’une droite parallèle à cette génératrice , et passant par l’origine des coordonnées ’7 l’équation du plan tangent, mené par un point x, y , z de la surface cylindrique, sera(n° 188)
Or , pour que ce plan , et la droite dont il s’agit , soient parallèles, il faut (n° 126) que l’on ait , entre lescoefliciens a >b ,p,q , la relation
.=ap + 4î,o» i = o(^)+i(^), (A)
laquelle exprime qu’une surface est cylindrique , sans cependant rien prononcer sur la nature de la courbe qui dirige le mouvement de la génératrice.
Pour appliquer ce résultat à un exemple , résolvons ce problème :
Connaissant la direction de la génératrice , trouver l’équation de la surface cylindrique qui enveloppe une surface courbe donnée.
Soit F(*, y,») = o l’équation de la surface donnée; après en avoir tiré les valeurs des coefficiens différentiels
(^) ’ Gÿ) ’ °n ,es substituera dans l’équation différentielle (A) des surfaces cylindriques , et l’équation résultante f(x> y » z) = ° appartiendra à la courbe de contact; ruais cette courbe étant aussi sur la surface donnée, il s’ensuit que ses deux équations seront
fteyy ,z)=o.
Il ne s’agit donc plus que d’opérer comme au n° 143, pour avoir 1 équation individuelle de la surface cylindrique circonscrite , puisque les équations de la génératrice sont connues.
Des surfaces coniques.
"9'i- ün des “raclèrcs des surfaces coniques, est que le plan qu. leur est tangent passe toujours par leur sommet Soient donc a , b, c les coordonnées de ce point , et * y z celles d’un autre point de la surface conique par lequel doit passer le plan tangent.
Ce plan a généralement pour équation
et comme il doit passer par le sommet du cdne , on a
résultat qui exprime qu’une surface courte est conique sans néanmoins rien prononcer sur la nature de la courbe qui lui sert de base.
/j52 PHOPOS1TIONS
De là il est aisé de résoudre ce problème : Etant données les coordonnées du sommet trouver U équation de la surface conique individuelle circonscrite à une surface courbe donnée.
La ligne suivant laquelle se touchent la surface donnée et la surface conique demandée , étant en général une courbe à double courbure , il faudra , pour en déterminer les équations, avoir égard à ce que, pour tous les points de cette courbe de contact, les deux surfaces ont le meme plan tangent, et qu’ainsi les valeurs des coefficicns différentiels
~ ^ } déduites tant de l’équation de l’une de ces sur¬
faces , que de l’équation de l’autre surface , sont respectivement les mêmes.
Cela posé , soit F (a , y > z) = ° l’équation de la surface enveloppée y on en tirera les valeurs de et et>
après les avoir substituées dans l’équation (A) des surfaces coniques, on aura une autre équation en x , y ,z , que Foû peut désigner par /(*, y , z) = o ; telles seront les équations de la courbe de contact, n° i85. Procédant ensuite comme au u° i44, on aura l’cquation individuelle de la surface conique cherchée.
195. Afin de déduire de cette théorie quelques propriétés des surfaces du second degré , prenons , pour équation de la surface enveloppée ,
Mza -h %a H- P*a -4- aQz, 4- afcy + 2 S-r = I -, (0
forme sous laquelle peut être mise l’équation (/) du n° 189, et dénotons toujours par a, b , c les coordonnées du sommet de la surface conique. On tirera de là
/dz\ Pa 4- S (dz\ %-f R
\dxj Ma ■+- Q ’ vfy/ Mz -J- Q ’
et l’équation (A) de la surface conique deviendra, par la
de GÉOMÉTIUE. 4^3
substitution de ccs valeurs , et après avoir réduit à l’aide de la relation (i),
(Mc-f-Q)2+(N^+R^4-(Pa+S)*-f-Qe+Ri+Sa-hi =o ; celle-ci , que l’on peut mettre sous cette forme :
Ve -f fib -f- aa + ^ = o , (3)
en faisant y = + Q,/3 = Ny-|-R,«t = P*-j-S,
^ = Qz + RjK *4- Sa; -|- x , appartient nécessairement à un plan, puisqu’elle est linéaire en x , y , a : ainsi , la courbe de contact d’une surface quelconque du second degré et d’une surface conique est toujours plane (*). Or , il est évident que ce plan est fixe dans l’espace , lorsque les coordonnées a, b , c sont fixes elles-mêmes, mais que sa position varie , lorsque le sommet de la surface conique change de place. Supposons que ce point se meuve sur la surface
M'ca-J- N7>a -f- Y a* •=. i. (4)
Si nous considérons deux positions consécutives du plan de la courbe de contact , résultante des deux positions infiniment voisines du sommet du cône , les coordonnées x ,y , z de la droite d’intersection de ces deux plans seront constantes (n° 191), mais a, b, c auront varié toutes trois. Les équations de cette droite seront donc
yc -f- fib -f *a + ^ = o , ydc + fidb -f ada = o ; et pour exprimer que le sommet du cône ne quitte point la surface directrice (4) , on aura encore , entre da,db , de, cette relation
M ede -f- N 'bdb -j- P 'ada — o.
Éliminant c/centre celle-ci et la précédente, on trouvera
(*) b est remarquable que l’équation (3) du plan de la courbe de contact représente 1 équation du plan tangent, lorsque l’on y considère a, b, c comme les coordonnées courantes, et x x y , z comme les coordonnées du point de tangence (n’ 1^8).
(M> — N' y b) db 4- (MV- — Y ya)da = o.
La position de la droite dont il est question dépend de la valeur du rapport ^ , et, à cause de la liberté qu’a le
sommet du cône de se mouvoir en tout sens sur la surface d irectrice , ce rapport est nécessairement arbitraire ; par conséquent les coefficiens de da et de db, dans cette dernière équation , doivent être nuis séparément ; on a donc
— N'yù = o, (5); M'*C — PVa= o. (6)
11 résulte de là que les coordonnées x,y , z, déduites des équations (3), (5), (6), sont celles du point commun à trois plans de contact consécutifs quelconques, et que le lieu de tous les points pareils fournis par d’autres positions du sommet du cône enveloppant, est une surface touchée par le plan (3). Pour déterminer l’équation de cette surface, on éliminera a, b ,c entre les quatre équations (3) , (4) , (5) , (6) , ainsi qu’il suit.
On multipliera (5) et (6) respectivement par b et a , et la somme des produits sera
(P/ a9 4“ N'ô9)^/ = M'c(*a 4" Pb) ;
puis 1 on ajoutera M'yc* de part et d’autre , et l’on aura
< F* 1 -f- N'ù9 4- MV)y = M'c (afa 4- /2Z> 4- yc) ;
et apres avoir élevé tout au carré , il viendra , à cause des relations (3) et (4),
y9 = M2^9c9 , d’où
M ac*
D’un autre côté , les équations (5) et (6) , élevées au carré , donneront
MVcs = N'yZ»2 . M'9*9C9 — Y*yW,
et par conséquent
DE OÉüMÉTKin.
P2 Ny2^ «ea P y1 à2
N7 — » F — ÂfV '
faisant uue somme de ces dernières et de l’équation identi -
que — , = ^7 > “ viendra , toutes réductions faites ,
rl . Ü , £ JL. .
M' ^ N' **" F — M'sc* ’
N'PV -f M'F/s* + M'N'ct* = M'N'P7 2 ; (7)
résultat indépendant de a, b , c, et qui est du second degré en x f y y z> puisque at, fi, y sont des fonctions linéaires de ces variables. Donc , si une surface conique touche et enveloppe constamment une surface courbe quelconque du second degré j pendant que son sommet parcourt une autre surface du second degré située comme on voudra dans V espace , mais douée df un centre , le plan de la cow;be de contact des deux surfaces touchera toujours une troisième surface du second degré.
Ceux qui voudront savoir comment il est possible d’extraire de la théorie précédente , due à Monge , d’autres propriétés curieuses des surfaces du second ordre , pourront consulter les Mémoires de MM. Livet et Brianchon , insérées dans le i3e cahier du Journal de V École Polytechnique. Nous nous contenterons d’énoncer les deux propositions suivantes, que Monge a démontrées le premier :
i°. Tout étant égal dj ailleurs j comme ci- dessus j si le sommet du cône circonscrit se meut en ligne droite le plan de la courbe de contact passera toujours par une même ligne droite y 2°. si le sommet est dirigé par une surface plane j le plan de la courbe de contact passera toujours par un même point.
rnoposiTiows
Des surfaces de révolution.
196. C’est un caractère distinctif des surfaces de révolution , quelle que soit d’ailleurs la nature de la courbe génératrice, que le plan tangent est toujours perpendiculaire au plan mené par l’axe de rotation et par le point de contact.
Cela posé , soient
les équations données de l’axe de révolution, et x , y, z les coordonnées du point de contact. L’équation du plan du méridien , c’est-à-dire de la section faite par l’axe , et assujettie à passer par le point de contact , est de la forme suivante (n° 121) :
or , l’axe coïncidant avec cette section , il est évident que , pour tous les points qui leur sont communs , les coordonnées sont les mêmes ; les trois équations précédentes doivent donc avoir lieu en même temps , et , en vertu du n° 126, il faut que l’on ait la relation j
AM -f- BN = 1.
Mais les équations de l’axe pouvant être écrites ainsi : x' — x = A {z — z) -f -a — x -f- Az , y — y = B (z' — z) -f- h — y -f- Bz, on en tire
a — x -J- Az == (*' — x) — A(z' — z), j et [ ( n )
b — y + Bz = (y — y) — B(z — z). J
D’ailleurs , si, entre ces mêmes équations , l’on élimine z f on obtiendra
équation qui, à cause de la relation AM+ BN = i , peut être mise sous ces deux formes :
(i— AM)(*'— *)— (/— .y) AN = N[(a— *)B— (é— sOA] , (i— BN)Cr'-^)— (*' — *)BM =M[(6— y)A.— (a-x)B] j et si , dans les équations (») , on substitue pour z — z sa valeur (w) , on aura
« — A- f Az = (*' — a:) — AM (jx — x ) — AN (y — y)
= (*'—*) (, AM) — AN (y — y) ,
b —y -f- Bz = (y — y) — BM (*'— x) — BN (/-*)
= (y-j) O - BN) — BM ( — x).
Donc , en rapprochant ces deux équations des deux précédentes, on conclura que
M [A(6 — y) — B(a — *)] = b — y -f Bz ,
N — y) — B(a — x)2 = — (a — x -{- Az)-,
ainsi l’équation (/rc) du plan du méridien mené par le point de contact , est
(z' — z)[A(6 — y) — B(a — x)] = (P — y + Bz) ( x — *) — (a — a: + Az) (/ — y) ;
et comme celle du plan tangent est (n° 188)
il résulte, du n° ia5 , que si ces deux plans sont perpendi culaires entre eux , on aura
(6 + Bz) (g) ( a - x + Kz ) (è)
cette relation exprime donc qu’une surface est de révolution autour d’un axe déterminé de position par les constantes A , B , a, b , indépendamment de la génératrice.
Indiquons maintenant la solution de ce problème : Une surface courbe dont l'équation est donnée , étant liée d'une manière invariable à un axe de révolution j et tournant ensuite autour de cet axe, trouver l’ équation de la surface qui touche et enveloppe la surface mobile dans toutes ses positions.
La surface cherchée est nécessairement de révolution autour de l’axe donné, et la ligne suivant laquelle elle touche la surface mobile considérée dans sa première position, est une courbe dont il suffira d’avoir les équations ; car alors la question rentrera dans celle qui a été traitée au n° 146.
Soit donc F(x, y , z) = o l’équation donnée de la surface mobile , considérée dans sa position initiale. Cette équation doit satisfaire à celle des surfaces de révolution ; donc, si 1 on en tire les valeurs des coefficiens différentiels
Ç.dx')’ Ct <luon ^es sukst*tue dans l’équation
(A) , la résultante /(* , y , 2) = o appartiendra à la courbe de contact; ainsi les deux équations de cette courbe seront
et en opérant comme au n° cité , on aura l’équation de la surface individuelle cherchée.
.Nous n entrerons pas dans de plus grands détails sur les propriétés des courbes à double courbure et des surfaces courbes, parce que le lecteur qui veut s’instruire plus particulièrement sur cette matière , doit étudier X Application de l Analyse à la Géométrie , par Monge ; ouvrage d un génie supérieur , et qui développe toutes les ressources de l’analyse transcendante.
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