L'expression

{x-\-\)P — xP — \

est divisible par ( j?^ -h ^ + i)S lorsque /? = 6m h- i .

(Nedberg, m., 520.) {Rochetti, 86, ai5.)

373. Soit P„ = ^2A__^Ar^ i^ ^ étant égal à 2'^-». 1° Les polynômes Pi, Pj, ..., P», sont premiers entre eux, deux à deux. 2° Dans le produit P = Pi P2 ... P/^, ordonné suivant les puissances de x, les coefficients sont -+- i, — i ou zéro. 3° La

variable x étant moindre que Tunité, on a, quand n croît indéfiniment

( I H- a? -♦- a?^ ) lim P = i .

(Catalan, M., 571.) (Joachimescu, 93, 5o.)

374. Si n est impair, le polynôme j;*'* — œ^"' -h x^^ — x"^ -\-\ ■est divisible par x^ — x^ -h x- — x -\-i. ( Sharp, M. , 715.)

(Emmerichj 91, 208, 245.)

375. Trouver les valeurs de y et de .c telles que les polynômes

aient un facteur commun du second degré. (M., 840.) {LippenSy 93, i49-)

376. a, 6, c, d désignant des nombres entiers et positifs, ( j -h J?)"*"^*H- (i H- ^)^*"^^ est divisible par^^H-^-f i; ^3a-i j ^3/>l ^3c-}-i est^ (jg même, divisible par a?- -h .37 h- i ; j7*a l ^*6+i| ^27*^-^-2 + ^r*'''^' est divisible par .r^ + j;*-i- a:*.

(Laurent, J. M., 209.) {Papelier, 80, 228.)

377. Soit V un poljnomtî entier en x\ Vi sa dérivée. On peut toujours trouver un polynôme X tel que XVj — i soit divisible par V; soit Vj le quotient; on détermine V3 à l'aide de Vj et de V2 comme on a déterminé Vj à Taide de Vet Vj, etc. La suite V) Vi, V2, V3, . . . peut remplacer la suite de Sturm, si V = o n'a pas de racines égales. (Laurent, J. M., 212.)

{Simon, 80, 564.)

378. Si m désigne un nombre entier positif, à quelle condition doit-il satisfaire pour que {x -\- y)"^ — (^'"-{- y'") soi t divisible par o^^n-^j +j*? (Fabre, J. M., 273.)

{Dupuy, 81, 282.)

Il8 ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.