Vérifier l'identité

(Catalan, M., 726.) [Laisantf 91, 269 (*).]

437. Si a, ô sont des nombres entiers et si ^, y vérifient la condition ^ -j-y m m, la quantité

mi

± -^=— T ^- m^-^ 4" — Ga-i,i/^«-^ r h. . .d= -î^— i^

a-HÔ — I b ' D-Hi a-h6 — I

(*) Généralisalion.

IDENTITÉS ET INÉGÀLITËS. l33

est indépendante de x et de y. Quand m = i, la proposition est presque évidente. (Catalan, M., 831.)

( Cristescu, 95, 19.)

438. Établir l'identité suivante, qui a lieu pour toutes les valeurs entières de /> et de n

nP — Cj^+i (n — i) 4- C|+i (n — 2)P 4-. . .

-î-(—i)p Cj+i(/i -/?)/»+(— o/'+ic* —/> — 0^ = o.

(De Longhamps, J. M., 320.)

4p39. Etablir, pour les valeurs entières et positives de/> et de /i, et quel que soit œ^ l'identité

(a? — i)P+i[iPa?4-a/'a7* + . . .-h/i^a?'*] = Piay'^+P+i -f- Pj^f^+p-i-. . .-4- Pp+ia7»+i -4- aj(,ip/' -4- «p+i a?/»-* -i- . . . -+- «1 a?,

les coefficients a, p, étant indépendants de Xy et donnés par les égalités

Pi = nP,

p, = (n-i)P-GJi+4/iP,

P3 = (/i — 2)P — Gj,+i(7i — i)P-4- CJ+i nP,

P/,4-l = (n -/>)/»- G>^.i (71 -/?-l)P, «! = (— l)''+».lPH-...H-(— i)pCj;+i/IP,

a2 = (-i)P+i.2P-h(-i)PG^+i.ip,

a3 = (-i)P-*-i.3P + (— i)pGi+^2P-+-(-i)p-»G«+, iP,

ap = ( — I P+i jDP H- ... + (- ,)i GP+I . iP.

(De Longghamps, J. M., 321.) {Baron, 81, 5ii.)

fM. Cm,p désignant le nombre des combinaisons de m objets

l34 ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

p k pi et F m le nombre des permutations de m objets, on a m'«— C^i( w ~ i)"« -h C;n,j(m — 2)'«— . . .

(PiCQUET, J. S., 158.) (Picquet, 88, 172, 237.)

Wl. Démontrer que l'on a