Soient

A=T^ . . . rr, B

on a

(A-BH-C-D)(l-i + ^-l) = 4«(^).

(P. A. Mac Mahon, M., 497.)

420. Si A et A' sont deux, polynômes de degré n à coefficients réels, et si B et B' sont deux polynômes de degré moindre que 2/1, on ne peut avoir Tidentité

sans avoir les deux suivantes

B = B'. (Amigues, J. s., 106.) {Bourgarely 86, gS.)

Identités; nombres combinatoires.

n est un nombre entier positif, p une quantité quelconque ; et

{Tardy, 54, 26; 58, 348.)

(Catalan, N. A., 262.)

422. Jip nombre de combinaisons de n éléments pris p 9i p sans répétition, et n'p avec répétition. On a

n'p—ni{n — i)p-+- n^{n — i)'p

— 718(^ — 3);, + ... -i-(—i)«nrt i(i);, = (/? — ï)rt i.

(N. A., 507.) (/>e VirieUy 60, 397.)

(*) Cet énoncé est inexact (vo^V 91, 258); nous le maintenons quand même, parce que les formes de A, ... sont intéressantes et peuvent provoquer la recherche d'autres identités dignes de remarque.

m. — Alg. Th, des nomb. 9

l3o ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

423. Si Ton désigne par Cjj le nombre des combinaisons sans répétition de m objets p à. /?, en regardant CJ^ comme égal à l'unité, on a l'identité suivante

(D. André, N. A., 966.) (Moret-Blanc, 71, i45.)

424. Démontrer la formule suivante, où CJ^ est le nombre des combinaisons de m objets n k n

(H. Laurent, N. A., 1254.)

{Moret-Blanc, 78, a36.)