Le carré de tout nombre impair divisible par 3 est la

différence de deux nombres triangulaires premiers avec 3.

(S. Realis, n. g., 1279.) \Marchand, 78, 463 (*).]

57. Tout nombre entier est la somme de quatre nombres compris dans la formule

3iî2dl^

c'est-à-dire dans la formule qui représente les nombres pentagones, étendue aux valeurs négatives de la variable.

(S. Realis, N. C, 271.)

{S. Realis, 78, 27; N. A., 73, 212.)

58. Tout nombre entier est la somme de quatre nombres compris dans la formule

X — iz^±z,

c'est-à-dire, dans la formule qui représente les nombres hexagones, étendue aux valeurs négatives de la variable.

(S. Realis, N. C, 272.)

(5. Realis, 78, 29; N. A., 73, 212.)

59. Tout nombre impair, divisible par A, est la somme de quatre nombres compris dans la formule qui représente les

C) Généralisation.

l68 ÂLCIftBRI. — THtOIIB DBS HOXBRBS, ETC.

nombres polygones de l'ordre h-^-i, étendue aux valeurs négatives de la variable.

Même proposition pour tout nombre double .d'un impair, dontA est un diviseur pair. (S. Realis, N. C, 273.)

(S. Bealis, 78, 3o.)

60. Le carré de tout nombre impair, divisible par 3, est la différence de deux nombres triangulaires, premiers avec 3. (S. Realis, N. C, 34S.)

{Cesàro, 78, i56.)

DIVISIBILITÉ ABITHMÉTIQUE.

DivisibUité par des nombres donnés.

61. m et r étant des nombres entiers positifs, sous quelle condition 3'""'"'' -+- 1 esl-il divisible par lo, lorsque 3"-!- i est divisible par io?('). (N. A., 291.)

{Brocard, 77, 190.)

62. m étant un nombre entier positif, la valeur entière et inférieure la plus approchée de (n-\/3)'"'+' est divisible par 2""+'. Soit, par exemple, m ^^i :

(n- ï/^)> == 10 + 6 /3 = 20,39. . .; ao est divisible par 2'+' ^ 4 i soit /n ^^ 2 :

(i + /3)s = 76 -t- 44 4/3 = i52,2o. . , ; iSa est divisible par 2*+':::^ 8. (Silvesteh, N. A,, 365.) [Proithet, 57. 184 ('); Le Besgue, 57, î6'2.]