Le cube d'un nombre entier, autre que Tunité, ne peut

être la somme des carrés de deux nombres entiers consécutifs.

(N. A. 1459.) {Fauquembergue, 83, 43o.)

2l8 ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

*257. La somme des carrés des n premiers nombres entiers n'est jamais un carré, excepté si n = 24.

(Ed. Lucas, N. C, 76.)

258. La somme de deux cubes consécutifs n'est jamais un carré, excepté si ces cubes sont i et 8.

(Ed. Lucas, N. C, 80, M., 4-58.)

{Fauquembergue, M., 87, 200.)

259. La différence de deux cubes consécutifs n'est jamais un bicarré (*). (Ed. Lucas, N. C, 81; M. 459.)

{Fauquembergue, M., 88, 21.)

*260. Si X, y, z désignent des nombres entiers satisfaisant à Féquation

on obtient une nouvelle solution par les formules

X = a:^ — y^ -\- 'ix^y^{7.x^ ■+-^^)> Y =^9 — x^ -^ Zy^x^{iy^ -\- x^), Z = 'àxyz{x^-\- x^y^ -^ y^).

Faire voir qu'elles sont plus générales que les formules attribuées à Euler. (Ed. Lucas, N. C, 134.)

*261. Trouver des formules analogues pour la résolution de

l'équation

AiF3-i-Bj3-i-G-s3= 3T)xyz.

(Ed. Lucas, N. C.,135.)

(1) Ces curieux théorèmes, dont M. Lucas n'a pas fait connaître les démonstrations, sont extraits d'un Mémoire intitulé ; Recherches sur VAnalyse indéterminée. La propriété dont jouissent les nombres 8 et 9 a donné lieu au théorème empirique suivant : Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent être des puissances exactes. Voir nos Mélanges mathématiques, les Nouvelles Annales, etc.

{Note de Catalan,)

*262. Tout cube est la différence de deux carrés, dont Tun au moins est divisible par 9. (Tait, N. C, 182.)

est impossible en nombres entiers. (Proth, N. C, 296.) {Ed, Lucas, 78, 121.)

x^ — 3 = jK^

est impossible, excepté pour a? = 2 , ^ = i .

(Proth, N. C, 297.) {Ed, Lucas, 78, 121, 224.)