La somme des mêmes puissances paires de neuf nombres

consécutifs n'est puissance d'aucun nombre.

(Gelin, N. C, 24-8.) {Ed. Lucasy 77, 248, 388.)

est impossible en nombres entiers. (Proth, N. G., 299.) [Ed. Lucas j 78, 122, 224 (^).]

(») D'après l'énoncé inséré dans Mathesis, les seules solutions seraient

(») Autrement dit, l'équation

est impossible en nombres entiers. {Note de Catalan.)

(') L'énoncé est inexact. D'après une rectification, il faudrait lire ainsi

En somme, la question n'a pas été résolue.

323. Déterminer n de manière que 1 + 3 -h 3^ -h . . . + 3'* soit un carré. (De Rocquigny, M., 864".)

{Fauquembergue, 94, 169.)

324'. Toute puissance n^ d'un nombre entier est toujours égale

à la somme de n termes consécutifs, pris dans la suite naturelle

des nombres impairs i, 3, 5, 7, 9, 11, .... Application au cas

où J7 = 3 et où /i reçoit successivement les valeurs i, 2, 3, ... (^).

(De Montferrier, J. M., 40.) ( Vautré, 77, 253.)

325. p étant un nombre premier impair et P un polynôme entier, à coefficients entiers, l'équation

{x -\-y)P — xP — yP =^ pxy{x -^y)'P'^

n'est vérifiée que par

/> = 7, V = x^-^ xy -{-y^.

(Catalan, J. S.^ 80.)

Nombres triangulaires.

326. Zéro, un, six sont-ils les seuls nombres triangulaires dont les carrés soient triangulaires? (Lionnet, N. A., 1406.)

327. i<» a étant un nombre entier positif, il y a, entre les carrés des entiers consécutifs a et a H- i, au moins un triangulaire et deux au plus.

2° Le nombre des carrés compris entre deux triangulaires consécutifs est nul ou égal à l'unité.

(') Ce théorème a été donné par M. E. Lemoine (N. A., 70, 368),

3° a étant un entier positif, si le nombre des triangulaires compris entre («-f-i)' et (a -h 2)' est égal à deux, le nombre des triangulaires compris entre a} et (a-hi)*, ainsi que celui des triangulaires compris entre (a-hi)* et (a 4- 2)*, égalera l'unité. Voici un premier exemple de la vérification de ces énoncés :

(LioNNET, N. A., 1470.)

{CesàrOy 86, 209.)

328. Trouver la loi de formation des nombres à la fois triangulaires et carrés. (Ph. Breton, N. C, 233.)

(5. Realis, 11, 194; 78, 167; 79, 285.)