Si

S;,,,, = I /' -h a/^ 4- S'' -h . . . -H W, on a

S/t,p-4-i = (/l -M) ^n,p — (Si,p-i- Sî,p-4-. . .-+- S„,p) (2).

(J. M. Croker, n. c, 4.77.) (Cesàro, 80, 82.)

*352. L Si ^, r, s sont des entiers plus grands que 2, et/? un entier quelconque, démontrer que les nombres de Bernoulli déterminés par la relation symbolique

(B-f-i)'7 — By = o,

(*) Voir un Mémoire de M. Catalan : 5m/' les nombres de Bernoulli et d'Euler. — Académie Royale de Belgique, t. XXXVII des Mémoires.

{Note de la Rédaction.) (^) M. G. de Longchamps, qui a trouvé, de son côté, cette relation (presque évidente, du reste), en fait la base d'une nouvelle théorie des nombres de Bernoulli {Annales de V École Normale, février 1879).

{Note de Catalan.)

m. — Alg. Th. des nomb. 16

vérifient la relation

B/'(B-f-i)7(B-f-2)''(B-i-3)*= Bs (B -- i)P(B — 1)9 (B — 3 )P.

H. Démontrer, sans se servir des séries, la relation symbolique

(2B -+- i)P'¥-iPBp—iBp = o.

(Ed. Lucas, M., 252.)

Séries arithmétiques.

353. Soient une progression arithmétique de différence ô^ et une série arithmétique d'ordre mj, déduite de cette progression . soient une seconde progression d'arithmétique de différence §,, et une série arithmétique déduite et d'ordre m^, et ainsi de suite jusqu'à la série d'ordre /n„.

Si l'on multiplie ensemble les premiers termes de ces séries, de même les seconds termes, etc., on obtient une série arithmétique d'ordre miH- m2 + . . .-H m^j, déduite d'une progression arithmétique à différence

(miH- mg-f-. . .-h mn)\ ^ «s

/«i ! m2 ! . . . rrin ! i 2 • • • «•

(BoKLEN, N. A., 615.) (De Virieu^ 70, 23 1.)

354. Ufi désignant le /^'èIne terme de la série de Lamé, on a

pourvu que l'on remplace les exposants par des indices.

(Gesàro, N. A., U37.) {Motet-Blanc, 84, 533.)