Un tétraèdre, dont les six arêtes sont mesurées par des

nombres entiers, ne peut pas avoir parmi ses angles solides un

trièdre trirectangle; mais, sur les arêtes d'un tel trièdre, on

peut, et d'une infinité de manières, prendre trois longueurs,

OA, OB, OC, en nombres entiers, tels que l'aire du triangle ABC

soit elle-même mesurée par un nombre entier ainsi que les trois

autres faces du tétraèdre résultant OABG.

(Transon, N. A., 1125.) (Chabanel, 74, 200, 34o.)

34-2. On suppose que les côtés a, by c d'un triangle sont multiples du rayon r du cercle inscrit, et l'on donne la somme .ç = a^ H- ^3 | qZ (jg leurs cubes : trouver les valeurs de ces côtés.

Exemple :

*343. Trouver tous les triangles dont les côtés ont pour longueurs des nombres entiers et dont l'aire est égale au produit des deux, trois, quatre, . . . premiers nombres premiers.

Exemples :

Côtés. Aire.

68, 75, 77; 2x3x5x7Xir;

(Ed. Lucas, N. G., 258.)

344. Le seul triangle dans lequel le rapport de deux angles est un nombre entier, et dont, en même temps, les côtés sont

24o ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES , ETC.

exprimés par trois entiers consécutifs, est celui dont les côtés sont exprimés par les nombres !\, 5, 6. (Weill, M., 394.)

(Cesàro, 89, 142.)

34-5. Le produit des trois côtés d'un triangle rectangle, évalués

en nombres entiers, est toujours divisible par 60.

(DUFRÉNOY, J. M., 172.) {Deslais j 80, 161.)

Nombres de Bernoulli et d'Euler.

*346. Sn désignant la somme des a: premiers nombres, élevés

à la puissance 72; démontrer que, pour x = j le quotient

de Sin par S;^ est égal à

Bfi désignant le n^^^^ nombre bernoullien.

(Ed. Lucas, N. G., 137.)

34-7. Déterminer directement, au moyen de la table des nombres premiers, le dénominateur du /i'*™» nombre de Bernoulli.

Démontrer, en particulier, les propositions suivantes :

1° Si p et q sont premiers entre eux, le dénominateur de B^^ est divisible par le produit des dénominateurs de Bp et de B^.

2° Si 2^4-1 est un nombre premier, ce nombre divise le dénominateur de B^. (Ed. Lucas, N. G., 138.)

{Brocard, 79, 282; Badicke, 80, 69.)

3kS. Quelle est la forme linéaire des diviseurs premiers des numérateurs de B^? (Ed. Lucas, N. G., 139.)

{Brocard, 79, 284.)

PROPRIÉTÉS DE NOMBRES PARTICULIERS. 2!\l

*349. Si p est un nombre premier, on a les congruences

Ep^-i-f-Eo^o (mod. /?), Ep i -j- Ep 2 -h . . . -4- Eo = G (moâ.p) (i).

(Ed. Lucas, N. C, 470.)