Soit

z = aiXi-\- afX^-h aja?3-t-. . .+ a/»a7/ï;

supposons que j?j, œ^, , . ,^ x^ puissent prendre respectivement mt, ^S) ...» t^n valeurs différentes; alors z aura au plus /Wj, /nj, ms, . . ., /n„ valeurs différentes, mais il peut en avoir moins. Dans quel cas? (N. A., 215.)

{Moret-Blanc, 94, 43*.)

46. Etant donnés m nombres en progression arithmétique, trouver le nombre de leurs combinaisons n k n, ayant la propriété que la somme des n nombres composant chaque combinaison ne dépasse pas le plus grand des nombres donnés.

(J. Sacchi, n. a., 80il..) ni. — Alg, Th. des nomb. a

l8 ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

47. On a une permutation entre les chiffres i, 2, 3, . . . , m. On connaît les quantités suivantes :

(Ti, nombre de chiffres supérieurs à i, que le i a avant lui; <J2, nombre de chiffres supérieurs à 2, que le 2 a avant lui, etc.

On demande :

I** Quelle est la permutation; 2° d'indiquer la série d'opérations à faire sur cti, o-j, ... pour trouver un chiffre de rang donné ; 3** une formule donnant : i°le premier chiffre en fonction de Œj, ^2> ^3> • • •> ^/rtî 2® le deuxième chiffre en fonction de ces mêmes quantités, etc.

Nota, — Soit 38 217 456 une permutation de 8 chiffres, on a

<Il =3, 0'2 = <T4 = (T5 = Je = 2, ffj = (Tg = O, CXy = I .

(Brun, N. C, SW.)

4-8. Soient A;;,^;^ le nombre total des arrangements des nombres I, 2, 3, . . ., m pris n k n\ Qm,n celui des arrangements dans lesquels aucun élément n'occupe la place assignée par sa valeur. Démontrer les formules

^/n,n = Q.m,n "H ^«,1 Qm— 1,«— 1 + ^«,2 X'»— 2,«— 2 -+-••.-+- y^n,nQ.m—n,0 î

(Neuberg, m., 278.) (Neuberg, 86, 253.)

*49. On peut décomposer un polygone de m = (/? — 2)/i + 2 côtés en n polygones de p côtés de

(np — n)(np — n — i) . . .(np — a/n- a)

manières différentes. (H. M. Taylor et Rowe, M., 333.)

50. Dans une pile de boulets rectangulaire, quel est le nombre des points de contact de deux boulets? (E, Lemoine, M., 828.)

{Soons, 94, 72.)

51. Dans les piles de boulets : i*» triangulaires; 2** quadran-

CALCUL ALGÉBRIQUE. IQ

gulaîres, quel est le nombre des points de contact de deux boulets?

Le premier nombre n'est jamais un carré. Trouver dans quel cas le second est un carré. (E. Lemoine, J. E., 432.)

{Sollertinskyj 93, 43.)