Démontrer que x — 2 est facteur de

(NOVARESE, M., 680.)

et trouver les autres facteurs. (M., 820.) (Retali, 93, 172.)

ii-O. Démontrer que, pour trouver la dérivée d'un déterminant dont tous les éléments sont fonctions d'une même variable, il suffît de faire la somme des déterminants obtenus en remplaçant dans le déterminant proposé tous les éléments d'une colonne par leurs dérivées. (Picquet, J. M., 215.)

{Colin, 80, 325.}

41. Si l'on désigne par U la fonction du second degré à trois

variables

kx'^-^ k' y^ -\- Pi." z"*' -\- iByz -^ %B' xz

-l-2B"iF7-H2Ga:-f-2G>H-aG''^ + D;

par H le discriminant de cette fonction rendue homogène; par A celui de l'ensemble des termes du second degré; par a, a', a'', p, P', ^" les mineurs, qui dans A correspondent respectivement à A, A/, A'', B, B', B^'; enfin par V le déterminant

p''^-P>+B'G'— B'^C-t-v/ïî p'a? — a^ -4- BG' —k'C

a'^ -P7-+-AG'' -B'G pa: — p'^^H-BT/— BG -h /H

p^ -«"j-hB^G — AG' oTx — ^'z-^k'C -B"G'

ay p''a7 + A''G'-BG* ^"y — d'x ^-B'G''— A"G

p'j-p^-hBG — B'G'+/H on a

V = A v/HÛ. (TissoT, J. S., 289.)

^•2. Si l'on désigne par U la fonction du second degré à trois variables

kx'^ H- A>2 -h A"^2 -4- 2B^^ H- 7.B'XZ

-\- 2 B''xy + 2 G a? -H 2 d'y + 2 Cz -4- D ;

par H le discriminant de cette fonction rendue homogène; par Y, y', y" et A les mineurs qui, dans H, correspondent respective-

CALCUL ALGÉBRIQUE

ment à C, C, G" et D; enfin, par W le déterminant

A' /H B'/H-hf—^z B'v/ïî — f-4-A7

B'^v/ïï — Y-^^z A' s/h b )/H'hy-^x

on aura

W = A«/hU. (Tissot, J. s., 291.)

43. Un déterminant de l'ordre n a pour éléments de la diagonale principale des nombres «i, «2> • • •> ^«î t^^^ les autres éléments sont égaux à œ. Démontrer que ce déterminant, égalé à zéro, représente une équation du degré n, ayant toutes ses racines réelles, ou toutes ses racines réelles moins deux.

(De Longchamps, J. S., 298.) {Philastre, 92, 142.)

Analyse combinatoire.

kk. Dans un produit de n facteurs monômes, on ne peut échanger que 2""* — i fois les signes des facteurs, soit en totalité, soit en partie, sans changer le signe du produit.

(N. A., 2W.) (Genocchi, 52, 453.)