Dans un déterminant de Vandermonde

1 1, a, a^j . . ., a»-*!, on remplace les éléments de la dernière colonne par a""''/'-*,

Démontrer que le déterminant correspondant est égal au déterminant de Vandermonde multiplié par la somme des combinaisons /? à />, avec répétition, des lettres a, 6, ...,/.

(Vautré, J. S., 337.) {ff, Lebesgue^ 93, 286.)

Binôme et coefûcients binomiaux.

55. La somme des carrés des coefficients de (â: + i)'*, r étant entier positif, est égale à h. ..^ y les crochets désignant des produits continuels.

Exemple :

alors i»+3»-4-32.t.i«= i»^. 3. 4-5 6 ^ ^^ (Lagrange, N. A., 389.)

(Combescure, 57, 296, 869, 375.)

56. Nommons S un groupe quelconque de termes consécutifs dans le développement de (i — a?)', où l'exposant est négatif, ou bien un groupe quelconque de termes consécutifs à coefficients positifs dans le développement de (i-f-j?)', où i est positif; écrivons S sous la forme 07*2, S sera ou une quantité qui ne change jamais son signe quel que soit x, ou une telle quantité multipliée par un binôme du premier degré.

La même proposition aura lieu pour un groupe quelconque de termes consécutifs dans le développement de Fexponentielle e^. (Sylvester, N. A., 811.)

(Pellet, 68, 287.)

57. La somme des carrés des coefficients de (^4- y)*'", pris avec des signes alternés, est égale, en valeur absolue, au plus grand de ces coefficients. (Rousseau, N. C, liS.)

{Freson, 77, 86.)

58. Si Ton désigne par nj^ le coefficient de a?* dans le développement du binôme (1 4- ^)'*, on a

m=zk —— = > (— l)'«-^*/»A:-m'lAM-/«.

Ainsi, par exemple, pour n^=y, k =z3y on trouve

— — ^ =21.35 — 7.21-1-7.1. (Studnicka, n. C, 262.)

(Freson, 77, 36 1.)