Soit riy le coefficient de o?^ dans le développement de

Démontrer les formules

I ï / \« 1 ï II I

/ij Ai2 -^ ô '^a — ..--<- (— l)'*"* -/ifl = H h«4-...H >

/Ij 2/12+ 3/l3 . . .-!-( l)«(/l — l)/l„i = 0.

(M., 716.) {Greenstreet, 91, 236.)

62. Trouver : 1° trois coefficients binomiaux consécutifs qui forment une progression arithmétique; 2<* quatre coefficients binomiaux consécutifs qui forment une proportion géométrique.

Démontrer qu'il ne peut exister trois coefficients binomiaux consécutifs qui soient en progression géométrique ou en progres-

(•) Voir aussi 79, 204.

sion harmonique, ni quatre coefficients consécutifs qui soient en progression arithmétique. (Schoute, M., Ikk,)

{Soons, 92, 119.)

63. Étant donné un nombre N quelconque du triangle arithmétique, si l'on considère : d'une part, la colonne des nombres situés au-dessus de N, et commençant à N ; d'autre part, la ligne où se trouve N et commençant à l'unité; la somme algébrique des produits deux à deux des nombres de même rang dans ces deux suites, produits affectés tour à tour du signe 4- et du signe — , est nulle.

Si l'on remplace la colonne par la diagonale commençant à N, le théorème est encore vrai. (H. Picquet, J. S., 157.)

{Picquet, 88, 172.)

Développements de puissances ou de produits.

64. Parmi les m quantités a^, a^, «3, . . . , a^, il y a p quantités négatives. Combien y a-t-il de termes négatifs dans le développement de («1+ «2 -H^sH-- • -H- û5,„)'*, n étant un nombre entier positif? (N. A., 28.)

{Brocard, 75, 235.)

65. Si l'on développe l'expression {i— 2aa: -h a-)"^ suivant les puissances de a : 1° le développement aura toujours un nombre impair de termes ; 2® les coefficients de la lettre ordonnatrice des termes équidistants de celui du milieu sont identique ment égaux; 3** si l'on égale à zéro ces coefficients qui sont des polynômes entiers et rationnels en a?, ils ont toutes leurs racines imaginaires lorsqu'ils sont de degré pair, et ils renferment, en outre, une racine nulle lorsqu'ils sont de degré impair.

(EscARY, N. A., 1259.) (Moret-Blanc, 79, 32i.)

CALCUL ALGÉBRIQUE. 23

*66. a étant une racine m^*°^® de l'unité, on propose de trouver le développement de l'expression

(Brocard, N. C.^ 3/ip6.)