TrouTer les dérirèes des fonctions cinculaiies ioTcrscs

arc ànx^ arc cosx, arc tangx s^appuTiBt seulement sur la définition de la déiiTée et sur

les formules inverses de Taddition des arcs

arc sin x -4- arc ûx^y = arc sin (a? v/i — y^ 4- y >J\ — x^ ) ,

arc cosa? + arc cos^ =arccos(ir^ — /i — x'^yj \ — y^)^

x-hy

arc langa? H- arc tangj^ = arc tang

(Arnaud, 80, 326.)

i — xy

(PiCQUET, J. M., 216.)

79. Démontrer la règle de Leibnitz pour trouver la dérivée /i»*™e (j'un produit ap de deux fonctions de œ

en démontrant que, si cette règle est vraie pour la dérivée

d'ordre (n — i), elle est encore vraie pour la dérivée d'ordre n.

Appliquer Ce théorème à la recherche de la dérivée /i'*™° de la

fonction

y = e^^cos(mx-^p). (J. M., 219.)

(Arnaud, 80, 38o.)

80. Trouver la relation qui existe entre trois dérivées successives d'ordre quelconque de la fonction

montrer qu'il ne peut exister de relation entre deux dérivées successives; la dérivée d'ordre/? est exactement divisible par la dérivée d'ordre 2/1-/7. Soi t /( a? ) une des dérivées de ( ^^ — i )'* ; y'(a?) Qlf''(x) étant les dérivées première et seconde de /(a?), la relation qu'il s'agit de trouver aura la forme

kf(x)-^'Rf(x)-^Of{x) = o\

chercher s'il existe d'autres fonctions entières du même degré vérifiant la même identité. (L. Lévy, J. S., 118.)

(Bourgarely 87, 260.)

81 . Si l'on pose Aq =i sin o?, Ai =: sin ^ — x cos a?, puis si l'on

28 ALGÈBRE. — THÉORrS DES NOMBRES, ETC.

calcule Aj, A.3, . . . par la formule de récurrence

A„ est de la forme U„ sin j? ■+- V^coso:. Démontrer les propriétés suivantes :

1° On a

xA%— 2/1 AJjH- xAfi = 0,

les accents indiquant des dérivées;

2° La fonction A„ s^annule pour a: 1= o ainsi que ses 2 n premières dérivées. Quelle valeur prend alors la dérivée d'ordre 2/1 + 1?

3® Écrivant U;,-f-iV„=P„, puis faisant ^=:ij, P„ est un polynôme en y k coefficients réels et de degré n

P„ = «0 J^" -^- «1 J^""* H- ... -4- apy^-P -f- . . .

H- a«r P« — 2(j^ -h /i) P; -h a/iP« = o,

puis on en conclut

Up est entier. (Hermite, J. S., 154..) (Berthon, 90, 88.)

Séries numériques.