Démontrer que la série

1.2.3. ..71 2.3.4. . «(/n-i) 3.4.5. .. (/i -H 2) est convergente et a pour limite

(/i — 1)1.2.3. ..(/i — i) CeJa donne la formule

en désignant par AJ"*"* le nombre des arrangements de (/i + 1) lettres n k n. (Vannson, N. A., 461.)

{Bouterg, 59, 242, 273; 60, 34; 61, i55.)

^lOi-. Soient a^, «2» ^53, ... des nombres qui tendent, en décroissant, vers zéro, et 61 > b^^ b^, ... des nombres positifs qui croissent toujours. Démontrer que, si la série

«1 ^1 + «j ( 6j — bj) -i- «3 ( 63 — 62 ) "H . . .

est divergente, il en est de même de la série

(ai — ai)bi-h(ai — az)bi-\-{az—at,)bi-h

(CesÀro, n. a., 1584).

*105. Soit Ml 4- «2 + M3 -h . . . une série divergente dont les

termes tendent, en décroissant, vers zéro. Démontrer que, si la série

est convergente, la moyenne arithmétique des n premiers nombres e ne peut avoir d'autre limite que zéro, lorsque n croît à rinfini. (GesIro, N. A., 1585.)

106. Si les nombres m,, Wj, W3, .... «„, continuellement croissants, tendent vers une limite finie, la série

Wi — M2 -H W3 — M4 -H . . . liz M/i ip . . .

est indéterminée. (Catalan, N. C, 360.) {Bombledy 79, 5^,)