Soient m un nombre pair et l'équation

Ao^'" — A,a7'«-i -f- A2^'«-2 — . . .— A,„iir -+- k^, = o,

où Aq, Al, A2, . . ., A,„ sont des nombres positifs. Soient H le plus grand des rapports

Aq A2 Av

et h le plus petit des rapports

A2 Av Â6 km

Al A3 As A„f i

l'équation proposée aura toutes ses racines comprises entre H et h si l'on a H >> A, et toutes ses racines imaginaires si l'on a H — A ou < h. (Prouhet, N. A., 780.)

{Laisant, 67, 34-) 292. Soient m un nombre impair et l'équation

KqX'" — A 137"»-* -h k^X^^-^ — . . .-H kfft-iX — A;„ =0,

où Aq, Al, . . ., A,„ sont des nombres positifs.

Soient H le plus grand et H' le plus pelit des rapports

A] A3 As km

Ao A2 A4 A„i i

Soit h le plus petit des rapports

As Av A,„i^

Al A3 A,;i 2

l'équation n'a aucune racine supérieure à H, ni inférieure à H', et en outre elle ne peut en avoir qu'une seule inférieure à -•

Il en résulte que, si H = - ou << -, l'équation n'aura qu'une racine réelle (*). (Prouhet, N. A., 781.)

{Laisantj 67, 35.)

293. U=o étant une équation algébrique, Ui, [J2, ..., U,i, ... les dérivées successives du premier membre :

I® L'équation U =0 aura des racines imaginaires, si l'on n'a pas, pour toutes les valeurs de n et de x,

,.(/l--2).I.2...(/H-2) U/1-3«Uai-4-3