AUTRES FORMULES

Côtés et apothèmes des polygones réguliers inscrits dans le cercle de rayon r :

Côtés. . Apothèmes.

Triangle r l/s { r

Carré r \/l {■ r [/*

Pentagone | r l/lO— Sl/5 i r ( 1 +1/5 )

Hexagone r |r l/3

Octogone r [/* — l/â | r |/i + l/â

Décagone ir(l/S— l) £rl/l0 + 2l/5

Dodécagone ir(l/ê-l/â) i r(l/6+l/à)

0ôY^ du pentédécagone inscrit dans le cerle de rayon r Wl/10 + 21/5 -1/3(1/5-1)]

Rayons et apothèmes des polygones réguliers de côté a : Rayons. Apothèmes,

Triangle -f a l/3 -f « 1^3

Carré ~r-a\/i -fa

Pentagone tô « l/*0 + 10 l/T rsa l/*5 +10I/5

Htxagone « -f « l/5

Octogone -f « l/4+il/ï -f a ( 1 + l/ï )

Décagone -f a ( 1 +.1/5 ) -f « V/« + «l/ft

Dodécagone -fa(l/6 + l/â) -f « (i + l/ï)

FQBXULES BT NOMBRES USUELS. 95

Sur/ace du quadrilatère inscriptible :

[/(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) a, b, c, d, les quatre cotés ; p, le demi-périmètre.

Surface du trapèze : ^1 I/o (p— c) (p—d) (p—e )

a et b 9 bases parallèles ; c et d, côtés non parallèles ; e 9 différence a — b; p, moitié de c+d+e.

Surfaces des polygones réguliers exprimées, 1° en fonction du rayon r du cercle circonscrit, 2* en fonction du eôté a :

Triangle f r* 1/3 £ a f l/â

Carré S r ■ a*

Pentagone | r* l/t04-2l/5 t a* 1/25 +10 l/* Hexagone | r» l/â f a* l/î

Octogone 2 r* l/2 2 a* ( t+l/ï)

Décagone f r * l/lO - 2i/s 1 «* l/5 + 2 1/5

Dodécagone 3r« 3a*(2 + l/3)

Relation entre la circonférence c du cercle et sa surface s :

c* = 17TS

Rectification de la circonférence et quadrature du cercle. —Solution nouvelle (*).

.(*) La décomposition de 3 1 4*6 en facteurs premiers nous a donné l'idée de cette solution approchée. On a effet

5i4i6 = 2 5 x3X7XnX»7 on en groupant convenablement les facteurs

3i4i6 = iiXi3X4X«7 donc 3,i4i6 = i,iXiiaXi,4X>*7-

On mène un diamètre et on divise un des deux rayons en dix parties égales. Soit r le rayon. On cherche une quatrième proportionnelle m à

r 1.1 r et

«t une quatrième proportionnelle n à

r 1,4 r et

On a m = 1,1X1,2 r et

1/ïr n = Mxi/rr.

Puis on cherche une quatrième proportionnelle p à r, m et n et une moyenne proportionnelle g entre m et n. On a

p =-^? = MXMXMXMr = 3,1416 r et g» = fn» = MXMXMXl/rr* = 3,1416 r».

Donc /> est la longueur de la demi-circonférence et q est le côté du carré équivalent au cercle.

Relation entre la surface s de la sphère et son volume v : *» = 36*0*

Expression du volume engendré par un polygone régulier tournant autour de son côté 1° en fonction du rayon r du cercle circonscrit, 2° en fonction du côté a :

Triangle Carré

TTT'l/3 2 arH/ï

Tara'

Pentagone Hexagone

7*rn/5+2l/5

Octogone Décagone Dodécagone

2 arH/4+21/2

!*rH/5

2 Ta» (3+21/2) f ^a» (5+21/5 )

Volume engendré par un triangle quelconque tournant autour de son côté a :