IV. TRIGONOMÉTRIE

Relations entre les lignes trigonométriques d'un même angle : Sin* a + cos« a = 1

m sin a r»*»«« cosa

Tança = Cote a = -. —

Sec* = zzrz Coseca = ^—

cos a sin a

Sec f a = 1 + tang* a Cosec*a = l+cotg*a

tangacotga = 1

tang a „ 1

Sin a ==±7-7=4====== Cos a = ±-y====

\Zl-htang»a l/l+tang»a

Sinta et cosimu de la somme et de la différence de deux arcs:

Sm(a+b) = sin a cosô + sinft cosa Sin (a— b) == sin a cos 6 — sin 6 cosa Cm[a+b) = cosa cos 6 — sina sinft Cos (a— b) = cosa cosft + sina sin 6

Tangentes et cotangentes de la somme et de la différence de deux arcs :

™*<«+ 6 > = t -tang* tang»

Ta»g(«-») = taDg a ~ tM>gd

1 + tang a tang*

Cotg(a + ô) =

cotga cotgd •

cotga + cotgd

cotga cotgô + t Cotg(a — &) = < — 7-r — 2 -~ — ov ' cotgd — cotga

cote a — 1 C0ts(*5-+a)= J sa + i

cotga + 1

Cotg(45*-a) = — * ■■

D v ' cotga — 1

Formules pour la multiplication et la division des arcs :

Sin Sa = 2 sin a cosa Cos 2a = cos*a — sin*a

Sin 3a = 3 sin a — 4 sin'a Cos 3a = 4cos 5 a— 3 cos a

2 tang a Tang Sa = t tang .

3 tang a — tang'a TaD 8 3a = i-3tang'a

cotg 8 a — 1 a*** = 8 cotga

cotg 5 a — 3 cotga C* 1 * = 3 cotg-a - 1

Sill^O = ± l/ 1 - CQ8«

Cosia = ± j/i±«»£.

Sin t a =

± l/t + sin a ± V/T^sin a

Cos -a = ±: V^ 1 + stp g ^ l^ 1 "" 8in fl a

TâBgia = -l±l/l+tapg'« tang a

Cotgïo = cotga ± l/l -h cotg*a

Trantformation de la somme et de la différence de deux lignes trigonométriques :

Sin a + sin b = 2 sin \ ( a -|- b ) cos 7 ( a—b ) Sin a — sin& =2 sin i(a — &) cos i(a+ô) Cosa + cos& = 2 cost(o +&) cos {{a—b) Cosft — cosa = 2 sin i(a +b) sin !(«—&)

Tango + tango = rin(« + »)

m a * sin(o — ô)

A * • sin ( a + & )

„ ^ , . sin (« — &')

Cotg& - cotga = sinasin*

Autres formules :

Sin(a+6) sro(a~ b) = sin*a — sin** sina 4- sinfr tangT(g-f-ft)

sina — sin» tangi(a — b)

Autres formules pour a + b + c = 180* :

Tango + tang* + tangc = tango tang& tangc

Cotgïa + cotgï6 + cotgic= cotgVacotgf&cotgi c Cos* a + cos* b + cos 1 c = 1— 2cosa cos& cosc Sin a -f sinft + sine = 4CQsia COS7& cosyc

Construction des tables :

Arc 10* =

360X60X0 64800 On en conclut avec 12 décimales exactes sin 10* = 0,000 048 481 368 et COS 10" = 0,999 999 998 825

Formules de Thomas Simpson :

Sin ( m + 1 ) a = sin ma X 2 cos a — sin (w— l)a

Cos(«t + l)a = cos ma X2COS a — cos(«i— l)a

Valeurs des sinus et des cosinus de 9° en 9° : Sin 0° = cos 90° = Sin 9° = cos 81° = Sin 18° = cos 72° = Sin 27» = cos 63* = Sin 36° = cos 54° = Sin 45° = cos 45° = Sin 54° = cos 36° = Sin 63° = cos 27* = Sin 72° = cos 18° = Sin 81° = cos 9° = Sin 90° = cos 0° = 1 On a aussi .

Sin 15° = COS 75° = tI/2 — 1/3

Sin 75 ta cos i5 # = t l/a -h l/s Relations entre les éléments d'un triangle :

ltag*A = |/ »>-»ff>- .£L

TangiB = ^/2HÊSHiî

Tang^C = i/0-«)( ?-&)

S = l/jp(p-a)(p-6)(ji-c)

r, rayon du cercle inscrit au triangle ; r', r", r", rayons des trois cercles extérieurs au triangle et tangents aux trois cotés; R, rayon du cercle circonscrit.

Surface à'un quadrilatère : f ab sin a a et 6 les deux diagonales; a, leur angle.

Résolution de l'équation du second degré :

1° Soit x* +px+q = 0; posons sin a = - l/£

on a af == — tangj a l/g et a" = — cotg t 0, [/q 2° Soit x % — jwp+g = 0; posons sin a = - l/?

on a a' = tang J al/# et x" == cotgi a t/tf

3 # Soit a;* +/># — q = 0; posons tanga = - \/q

onaa?' = tangial/y et a" == — cotgial/tf

4° Soit x* — px — q = ; posons tanga = - i/q

on a #'= — tangTol/i et a" = cctg^al/g

Dans les deux premiers cas, pourp* < 4? les deux racines sont imaginaires.