I.= \ + h(t'-t) d'où l' = l[lXh(t'— tfl

Relation entre le coefficient k de la dilatation cubique d'un corps solide et le coefficient h de sa dilatation linéaire : considérons dans le solide un cube dont les arêtes soient 1 à 0°. A un degré le volume du cube devient 1 + k et comme chacune de ses arêtes devient t + h le volume du cube est aussi ( 1 + h)*, on a donc i + * = ( t +h )". Développons le cube de 1 + h et supprimons 1 des deux membres, il vient * = Sh + 3h* -f h*

Or h est toujours un nombre très-petit, donc le carré et le cube de h sont très-petits par rapport à h, et on peut négliger sans erreur sensible les deux termes qui contiennent h* et h*, on a donc avec une approximation suffisante

k = Sh c'est-à-dire que le coefficient de la dilatation cubique est triple du coefficient de la dilatation linéaire.

En considérant sur la surface du solide un carré dont les côtés soient t à 0°, on démontre de la même manière que le coefficient A' de la dilatation superficielle est double du coefficient h de la dilation linéaire, de sorte qu'on a V = 2A.

Relation entre le volume v d'un corps solide, liquide ou gazeux à t degrés son volume v. à et son coefficient k de dilatation : l'unité de volume pour un degré se dilate de k, donc pour t* elle se dilate de ht, donc elle devient i+kt à t°, donc le volume v m devient t> (l + Atf) et Ion a t; = v. ( 1 + kt )

Relation entre le volume v' d'un corps quelconque à t' degrés, son volume v à t degrés et son coefficient k de dilatation : soit v a le volume du corps à 0, on a

v'=v.(i+kt') et v = v Q (i + kt)

Si on divise ces deux équations membre à membre, il vient

t/ 1 + */' v ~* 1 + kt

c'est-à-dire que les volumes sont proportionnels aux modules de dilatation. Multiplions les deux termes du second membre par 1 — kt et négligeons les deux termes qui contiennent le carré k* très-petit par rapport à k t on obtient avec une approximation suffisante

*' =1 + *'(*'*) d'où v'=t>[l+ À #'-/)]

Relation entre le coefficient D delà dilatation absolue d'un liquide ou d'un gaz, son coefficient d de dilatation apparente et le coefficient k de dilatation cubique de l'enveloppe : soient a le volume du fluide à et & l'augmentation apparente de volume pour un degré» l'augmentation

apparente du volume 1 pour un degré sera -, on a donc.

d = -. Or les capacités a et b de l'enveloppe augmentent

elles-mêmes de volume comme si elles étaient massives» donc l'augmentation réelle du volume a pour un degré est b + ak + bk, donc l'augmentation réelle du volume 1 pour

un degré est— + k + —kou d -f k + dk on a donc

D = d + k + dk mais d et k sont très-petits, donc on peut négliger dk qui

est très-petit par rapport à d et à A et l'on a avec une approximation suffisante

Coefficient moyen de la dilatation absolue du mercure entre et 100* : -r^-r.

Coefficient moyen de la dilution apparente du mercure dans le verre entre et 100° : -*t^.

04oU

Coefficient moyen de la dilatation du verre entre et

100,: 3S5ÔÔ-

Coefficient moyen de la dilatation absolue de l'air sec entre et 100° : 0,003605.

Mesure des températures avec le thermomètre à poids : soient P le poids du mercure qui remplit le tube à et j» 1e poids du mercure qui s'en écoule à la température in-

connue t\ -j^—- est le volume du mercure qui reste dans

le tube et ~§-^ est le volume de mercure qui s'en est

écoulé. Donc la dilatation apparente du volume — r|- pour f est jjrjr; donc la dilatation apparente de volume 1 pour

* est ÏM : Sf ou P=P ;or dfo*** " 4 ^ à ëm> Calcul du volume d'une masse de gaz sec à une tempe-

rature et sous une pression données : soit v le volume primitif du gaz à la température t et sous la pression j>, et v' son volume final, à la température V et sous la pression p'. Le volume x du gaz à la température t et sous la pression p' est donné par la relation

p'x = vp d'où x = -4-

Or les volumes sous la même pression sont proportionnels aux modules de dilatation, donc le volume %F du gaz à la température t' est

k étant le coefficient de la dilatation absolue du gaz.

Correction des hauteurs barométriques ; soit h la hauteur observée à t° et h la hauteur à ; nommons d la densité du mercure à t° et d sa densité à 0. Les hauteurs des deux colonnes liquides à f et à sont réciproquement proportionnelles à leurs densités, on a donc

Or (es densités d'une même masse sont réciproquement proportionnelles aux volumes ; on a donc en nommant v et v les volumes d'une même masse à et à J° et Aie coefficientde

la dilatation absolue du mercure, égal à tttq»

demc r = -nns- d ' où h ° = TT**"

Si on remplace ft par sa valeur -rrsTT» il vient

Il y a une autre correction à faire lorsque la division est marquée sur une règle en cuivre ou en laiton qui entoure l'instrument. Soit la température à laquelle a été graduée la règle et l son coefficient de dilatation linéaire, chaque division est représentée par 1 à 6°, donc chaque division à t° devient i + l (< — ô), les h divisions valant donc

à [! + *(*-&)] et l'on a

h - h [i + z(*-6)] ~* t + ht

k étant égal à rhô- Pendule compensateur de Leroy : supposons deux châssis de fer se dilatant de haut en bas et deux châssis de cuivre se dilatant de bas en haut ; la tige de fer qui suporte la lentille se dilate aussi de haut en bas. Soient /, /, f, les longueurs des deux châssis et de la tige en fer, et c, c' les longueurs des deux châssis de cuivre, à une température quelconque, à 0, par exemple. Nommons X le coefficient de la dilatation linéaire du fer, et 7 celui du cuivre. Pour un degré l'allongement des châssis et de la tige de fer est (/ + / p + /")Xet l'allongement des châssis de cuivre est {c + e') 7. Pour que la longueur du pendule soit constante, ces deux allongements doivent être égaux; on doit donc avoir (/+/ +f) x = (c + c' ) ?.

Ainsi la somme des longueurs des châssis et de la tige de fer et la somme des longueurs des châssis de cuivre sont en raison inverse des coefficients de la dilatation linéaire des deux métaux. On néglige la dilatation de la lentille.

Expression de la quantité de chaleur gagnée par un corps : soit p le poids du corps, c sa chaleur spécifique et t

Te nombre de degrés dont sa température s'élève. Chaque unité de poids du corps pagne c en s'élèvant d'an degré, donc p unités de poids gagnent pc, et en s'élèvant de t° elles gagnent pet, on a. donc x = pet

La quantité de chaleur perdue par un poids p d'un corps dont la chaleur spécifique est c et qui s'abaisse de f est aussi pet. Ainsi la quantité de chaleur gagnée ou perdue par un corps et un produit de trois facteurs dont Tan est la chaleur spécifique du corps, l'autre son poids et le troisième le nombre de degrés dont sa température s'élève ou

Mesure de la chaleur latente de fusion de la glace par la méthode des mélanges : on plonge un poids connu de glace à dans une masse déterminée d'eau à une température connue et on observe la température du mélange.

Soit p le poids de la glace supposée â 0, l sa chaleur latente de fusion, m le poids de l'eau dans laquelle on plonge la glace, c sa chaleur spécifique égale â l'unité, m' le poids du vase qui contient l'eau, c' sa chaleur spécifique, t la température initiale de l'eau et du vase et 6 la température finale du mélange.

La quantité de chaleur gagnée par la glace pour fondre et pour s'élever de ô degrés est pl+pcB et la quantité de chaleur dégagée par l'eau et le vase en s'abaissant de f — d degrés est ( me + mV ) ( t — 6 ) ; or ces deux quantités de chaleur sont égales; on a donc

pl+pcb = (wc + mV)(*~ft)

On a trouvé ainsi pour chaleur latente de fusion de la glace le nombre 79,25.

Si on néglige l'influence du vase, il faut, pour mettre le problème ert équation! écrire que la chaleur gagnée par la

glace en fondant et en s'élévant de 6 degrés est égale à la chaleur perdue par l'eau en Rabaissant de t — 6 degrés et Ton a pl+pcQ = mc(t — 6).

Mesure de la chaleur latente de vaporisation de Veau : on fait arriver un poids connu de vapeur d'eau dans un serpentin entouré d'eau froide. La vapeur se condense et s'écoule dans un petit vase. Soit p le poids de l'eau vaporisée, I sa chaleur latente de vaporisation, T sa température, mie poids de l'eau dans laquelle plonge le serpentin, c sa chaleur spécifique égale à l'unité, m' le poids du vase et du serpentin ordinairement en cuivre, € sa chaleur spécifique, t la température initiale de l'eau et du vase et la température finale.

Le serpentin a un assez grand développement pour que l'eau condensée s'écoule constamment à la température du bain ; on peut admettre que cette eau qui s'écoule à une température variant de t à 6 depuis le commencement jusqu'à la fin de l'expérience s'est écoulée constamment à la

température moyenne , donc la chaleur dégagée par la

vapeur d'eau en se condensant et en s'abaissant ensuite à

cette température moyenne est pl+pc(*ï î— \

d'ailleurs la chaleur gagnée par l'eau du bain et le vase en s'élévant de 6 — t degrés est ( me + m'tf ) ( ô — t ) ; or ces deux quantités de chaleur sont égales ; on a donc l'équation

M. Regnault a trouvé ainsi pour chaleur latente de vaporisation de l'eau le nombre 537.

Si la vapeur arrive directement dans l'eau et si on néglige l'influence du vase, il faut, pour mettre le problème

«n équation, écrire que la chaleur dégagea par la vapeur d'eau eu se condensant et en Rabaissant de T — 8 degrés est égale à la chaleur gagnée par l'eau en s'élevant de 6 — t degrés; et l'on a

pl+pc(T — 6) = mc(ô — t).

Détermination de la chaleur spécifique des solides et des liquides.

1° Par la méthode des mélanges : on plonge un poids déterminé du corps solide ou liquide à une température connue dans une masse d'eau dont on connaît aussi le poids et la température. Soit p le poids du corps, x sa chaleur spécifique, T sa température avant le mélange, m le poids de l'eau, c sa chaleur spécifique égale à 1, m' le poids du vase, tf sa chaleur spécifique, t la température du vase et de l'eau avant le mélange et la température finale du mélange. La chaleur dégagée par- le corps en s'abaissant de T — ft degrés est px (T — 6) et la chaleur gagnée par l'eau et le vase en s'élevant de 6 — t degrés est (mc+m'c') (8— t); or ces deux quantités de chaleur sont égales, on a donc

ira?(T — 6) == {me -hwV)(e — t)'

Si le corps est de même nature que la matière du vase c' = x et l'équation ne contient qu'une inconnue.

2° Par le calorimètre de Laplace et Lavoisier, ou par un puits de glace : on chauffe le corps à une température déterminée, puis on l'introduit dans le calorimètre ou dans le puits et on recueille la glace qu'il fait fondre en s'abaissant à 0. Soit m le ppids du corps, t sa température initiale, x sa chaleur spécifique, et m' le poids de glace fondue. La .chaleur dégagée par le corps est mtx et la chaleur gagnée par la glace pour fondre est 79,25 X«»'; or ces deux

quantités de chaleur sont égales, on a donc l'équation mtx = 79,85 X *»'•

Mélange des gaz et des vapeurs : la force élastique du mélange est la somme des forces élastiques que chaque fluide exercerait s'il occupait seul le volume du mélange : soit v le volume du mélange, / sa force élastique, v' le volume qu'occupait le premier fluide soumis â la pression /', v" le volume qu'occupait le deuxième fluide soumis à la pression/*... ;ona

d'où v/= v'f + ff+....

Volume d'une masse de gaz saturé d'humidité à une température et sous une pression données : soit v le volume primitif du gaz à la température t et sous la pression totale h, f la force élastique maximum de la vapeur d'eau à t degrés, v' le volume final à la température V et sous la pression totale h', f la force élastique maximum de la vapeur d'eau à t' degrés, k le coefficient moyen de la dilatation absolue du gaz, égal pour l'air à 0,003665. Le problème consiste à déterminer le volume t/ de gaz sec à la température if et sous la pression h' —f, quand on conuait son volume v à la température t et sous la pression h — / : on a ( Voyez la formule page 120)

h-f l+kt'

v r = « zL — ■

Ji'—f 1 + kt

Poids d'un litre d'air sec à t° et sous la pression h : un litre d'air sec à 0° et sous la pression de 760 millimètres de mercure pèse l« r ,293 ; or le volume 1 à 0° devient 1 + kt à t\ k étant le coefficient de dilatation de l'air, égal à 0,003665 ;

FORMULES ET NOMBRES USUELS. j

si le nouveau volume i +kt est double, triple, . j volume. primitif 1, le poids d'un même volume esj demment réduit à la moitié, au tiers,. . . donc le poidi

litre d'air sec a t° et sous 760 millimètres est A ' ..

l + kt posons maintenant que la pression soit h, si cette près est double, triple,. . . de 760, le volume du gaz, d'ap loi de Mariotte, est réduit à la moitié, au tiers,. . . d< poids d'un même volume est double, triple,. . . donc le d'un litre d'air sec à t° et sous la pression h, est

i* r ,293 h * l+kt 760 p est évalué en grammes, et h en millimètres de mercure.

Poids du litre d'un gaz ou d'une vapeur à V et sous la

pression h : on connaît la densité d du gaz ou de la vapeur,

rapportée à l'air. Le poids d'un litre d'air sec à P et sous

la pression h est x — , donc le poids du litre d un