AU MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL

OSCILLANT GTRGULA1REMENT SUR DIFFÉRENTES SURFACES DE RÉVOLUTION ENGENDRÉES PAR LES SECTIONS CONIQUES*.

(20 septembre 1865.)

Si on prend une sphère de rayon R et qu'on fasse osciller circulairement un mobile à sa surface, on a pour la durée de révolution

COS et

a étant l'angle du diamètre vertical de la sphère et du rayon passant par Je mobile.

Faisant R cos a = A, on a :

(==2ir4/A

le rayon de la sphère disparaît et il devient évident que la durée de révolution ne dépend que de la hauteur h du mobile au-dessous du plan horizontal passant par le centre.

Mais si, à la sphère on substitue la figure engendrée par la révolution d'une ellipse autour de son axe vertical a, on trouve pour le temps d'une révolution complète :

4. Note lae au Bureau des Longitudes. — Voir aussi C.-fl. de l*Ac. des Se, t. LXI, p. 545.

expression qui répond au cas d'un ellipsoïde allongé ou aplali suivant qo^ a est plus grand ou plus petit que b.

D'un autre côté, si on prend la surface engendrée par la révoluiioD d'une hyperbole équilatère tournant autour de l'un ou de l'autre de ses axes verticalement situé, on trouve comme pour la sphère

t = tv

h étant compté positivement au-dessus et à partir du plan horizontal passant par le centre.

Puis, si l'on donne à la courbe génératrice des axes inégaux a et M» trouve comme précédemment :

et comme les quantités a et 6 n'interviennent que par leur rapport et indé-

pendami donne :

pendamment de leurs valeurs absolues, on peut faire — = w, ce qoi

t = 2 -Ktn

expression qui l'ait abstraction des dimensions de Thyperboloïde et qui convient aussi bien à la surface limite du cône asymptotique.

On peut donc avancer d'une manière générale que lorsqu'un poioi matériel est assujetti i\ osciller circulairement sur une surface engendrée par la révolution d'une section conique autour de l'un de ses axes verticalement situé, on a pour le temps d^'uneoscillationcomplèle et dans (ouste cas une expression qui est de la forme

l^ kyj'h'

Quant au paraboloïde de révolution, il se présente naturelleffleol comme établissant une transition entre les deux séries de surface que je viens de considérer.