C. — Métaphys. o

1 14 CHAPITRE ifr.

zones est égale à la circonférence du grand cercle, raiil-

lipliée par lal:aiïl?ur de cette zone.

C'était encore par la réduction à Tabsurde que les anciens étendaient rjx quantités incommensurables les rapports qu'ils avaient découverts entre les quantités coramensuraLles. Celte doctrine est certainement très belle et très précieuse ; elle porte avec elle le caractère de la plus parfaite ovidence et ne permet pas ou'on perde son objet de vue : c'était la méthode d'invention des anciens; elle est encore très utile aujourd'hui, parce qu'elle exerce le jugement, qu'elle accoutume à la rigueur des démonstrations et qu'elle renferme le germe de l'Analyse infinitésimale, li est vrai qu'elle exige quelque contention d'esprit ; mais la méditation n'est-elle pas indispensable à tous ceux qui veulent pénétrer dans la connaissance des lois de la nature, et n'est-il pas nécessaire d'en contracter l'habitude de bonne heure, pourvu qu'on n'y sacrifie pas un temps trop considérable?

HO. En observant avec attention les procédés de cette méthode d'exhaustion, on voit qu'ils se réduisent toujours à faire intervenir des quantités auxiliaires dans la recherche des propriétés ou des relations de celles qui sont proposées; celles-ci sont considérées comme les termes extrêmes dont les premières sont supposées s'approcher continuellement, et la loi de continuité qu'elles suivent dans ce rapprochement indique les modifications par lesquelles on peut passer des propriétés connues de ces auxiliaires aux propriétés jusqu'alors inconnues des quantités proposées.

C'est ainsi qu'on applique la méthode d'exhaustion à la recherche des propriétés des courbes^ au moven dçs polygones inscrits et circonscrits, qui sont des systèmes

MÉTHODE d'eXHAUSTION. Il5

auxiliaires de quantités connues, lesquels, se rapprochant graduellement de la courbe proposée, font connaître, par la loi de continuité qu'elles observent dans ce rapprochement et par leur analogie qui devient de plus en plus intime avec cette courbe, les affections et propriétés de cette dernière.

m. La méthode d'exhaustion a donc essentiellement le même but et suit dans sa marche les mêmes principes que l'Analyse infinitésimale. C'est toujours le même système auxiliaire de quantités connues, lié d'une part à celui que l'on cherche à connaître, tandis que, d'une autre part, il reste à ce système assez d'arbitraire pour qu'on puisse à volonté le rapprocher par degrés du système proposé, ce qui fait connaître par induction les relations cherchées. Il ne reste plus alors qu'à constater la certitude de ces relations, et c'est ce qu'on obtient par la réduction à l'absurde.

112. New^ton fit faire à cette doctrine un grand pas vers la perfection au moyen de sa théorie des premières et dernières raisons, qui sont précisément celles que fait connaître la loi de continuité dans le rapprochement graduel du système auxiliaire avec le système désigné. Par celte nouvelle théorie, il étendit les principes de la méthode d'exhaustion et simplifia ses procédés, en la débarrassant de la nécessité qu'elle s'était imposée de constater toujours par la réduction à l'absurde l'exactitude des relations qu'elle parvient à découvrir, et en prouvant que ces relations sont suffisamment établies par le mode même employé pour les obtenir. C'est ce qu'annonce en effet Newton en terminant l'exposé de cette théorie : « J'ai commencé, dit-il, par ces lemmes, » pour éviter de déduire de longues démonstrations

I if) CHAPITRE m.

» par Tabsurde, selon la méthode des anciens géo- » mètres. »

Ce grand homme fît faire dans la suite un second pas bien plus considérable encore à cette doctrine, en réduisant sa méthode des premières et dernières raisons elle-même en un algorithme régulier par son calcul des fluxions. Au moyen de ce calcul, il introduisit dans l'analyse algébrique, non pas seulement ces premières et dernières raisons, mais encore leurs termes séparément pris, c'est-à-dire isolément le numérateur et le dénominateur de la fraction qui représente chacune d'elles, modification de la plus haute importance, à cause des nouveaux moyens de transformation qu'elle fournit. C'est sur quoi nous reviendrons plus loin. Mais Newton n'eut pas seul cette gloire; il la partagea avec Leibnitz, qui même eut l'avantage de publier son algorithme le premier, et qui, ayant été puissamment secondé par d'autres géomètres célèbres qui embrassèrent aussitôt sa méthode, lui fit faire avec eux des progrès plus rapides que ne put en faire, dans le même temps, le calcul des fluxions.