DE L ALGORITHME. IO

En effet, soit en dlfférentiant, on aura

et, prenant les variations,

ou, d'après le principe établi ci-dessus,

intégrant alors, on aura

ou, remettant pour U sa valeur,

fSP = <?/P.

105. Maintenant, soit proposé de trouver la variation d'une formule intégrale indéfinie JYdx^ c'est-à-dire de trouver âfYdx, ou plutôt de donner à celte expression une forme qui la dispose à être dégagée du signe auxiliaire â, lequel est toujours celui qu'on doit tendre à faire disparaître le premier.

D'après le second principe fondamental, nous aurons

âfVdjc z=zf§[Vdx] =ifdx§\ + fW^dx,

ou, par le premier principe,

(A) âfVdx=fdxâY-\-fVd$jc;

mais

OU, en intégrant et transposant,

fydlv =1 yiv — fdWli.

I lO CHAPITRE II.

Substituant cette valeur defYdSx dans Téquation (A), elle deviendra

ou

(B) ^fydx nz Y$.r ^f[ii,r$\ — rfV^.r),

équation que, suivant la nature de la fonction V, on nchèvera de dégager du signe 3 de la variation , ce qui ramènera le problème aux procédés ordinaires des Calculs différentiel et intégral.

DES MÉTHODES PAR LESQUELLES ON PEUT SUPPLÉER A L'ANALYSE INFINITÉSIMALE.

106. Il est plusieurs manières de résoudre les questions qui sont du ressort de l'Analyse infinitésimale, et, quoiqu'il n'y en ait aucune qui paraisse réunir les mêmes avantages, il n'en est pas moins intéressant de connaître quels sont les difTérenls points de vue sous lesquels les principes de cette théorie peuvent être envisagés ; c'est pourquoi je me propose ici de jeter un coup d'oeil sur les diverses méthodes qui s'y rapportent et qui même pourraient la suppléer.

DE LA MÉTHODE d'eXHAUSTION.

107. La méthode d'exhaustion était celle dont se servaient les anciens dans leurs recherches difficiles, et particulièrement dans la théorie des lignes et surfaces courbes, et dans l'évaluation des aires et des volumes qu'elles renferment. Comme ils n'admettaient que des démonstrations parfaitement rigoureuses, ils ne croyaient pas pouvoir se permettre de considérer les courbes comme des polygones d'un grand nombre de côtés : mais, lorsqu'ils voulaient découvrir les propriétés de l'une d'entre elles, ils la regardaient comme le terme fixe dont les polygones inscrits et circonscrits approchent

continuellement et autant qu'on le veut, à mesure qu'on augmente le nombre de leurs côtés. Par là ils épuisaient en quelque sorte l'espace compris entre ces polygones et la courbe, ce qui, sans doute, a fait donner à cette marche le nom de méthode d' exhaustion.

Comme ces polygones terminés par des lignes droites étaient des figures connues, leur rapprochement continuel de la courbe donnait de celle-ci une idée de plus en plus précise, et, la loi de continuité servant de guide, on pouvait enfin parvenir à la connaissance exacte de ses propriétés.

Mais il ne suffisait pas aux géomètres d'avoir reconnu et comme deviné ces propriétés : il fallait les vérifier d'une manière incontestable, et c'est ce qu'ils faisaient en prouvant que toute supposition contraire à Texistence de ces mêmes propriétés conduisait nécessairement à quelque contradiction: c'est pourquoi ils nommaient ce genre de démonstration réduction à l'absurde,

108. C'est ainsi que, ayant d'abord établi que les aires des polygones semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologues, ils en ont conclu que les cercles des différents rayons sont entre eux comme les carrés de ces rayons : ce qui est la seconde proposition du douzième Livre d'Euclide. L'analogie les a conduits à cette conclusion, en imaginant dans ces cercles des polygones réguliers inscrits d'un même nombre de côtés. Car, comme, en augmentant tant qu'on veut le nombre de ces côtés, leurs aires demeurent toujours entre elles comme les carrés des rayons des cercles circonscrits, ils ont facilement aperçu que la même chose devait nécessairement avoir lieu pour les cercles mêmes dont ces polygones approchent de plus en plus, jusqu'à en différer aussi peu qu'on le veut; mais cela ne suffisait

MÉTHODE d'eXHAUSTION. I i3

pas : il fallait démontrer rigoureusement que la chose était réellement ainsi, et c'est ce qu'ils ont fait, en montrantque toute supposition contraire fait nécessairement tomber dans une absurdité.

Les anciens ont démontré de la même manière que les volumes des sphères sont entre eux comme les cubes de leurs diamètres, que les pyramides de même hauteur sont comme leurs bases, que le cône est le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur.

Souvent, pour mieux discuter leur objet, les ancieus faisaient intervenir tout à la fois, comme auxiliaires, les polygones inscrits et les polygones circonscrits, qu'ils comparaient les uns aux autres. Par là ils resserraient de plus en plus la courbe comprise entre ces figures rectilignes et saisissaient plus facilement les propriétés de cettte grandeur moyenne.

109. Ils en usaient de même à l'égard des surfaces courbes et des volumes des corps. Ils les imaginaient tout à la fois inscrits et circonscrits à d'autres surfaces, dont ils augmentaient graduellement le nombre des côtés et des zones, de manière à resserrer de plus en plus entre les unes et les autres la surface proposée. La loi de continuité leur indiquait encore les propriétés de cette figure moyenne, et ils les vérifiaient par la réduction à Tabsurde, en s'assurant par une démonstration rig'oureuse que toute supposition contraire menait infailliblement à quelque contradiction.

C'est de cette manière qu'Archimède a démontré que la surface convexe d'un cône droit est égale à l'aire du cercle qui a pour rayon la moyenne proportionnelle entre le côté du cône et le rayon du cercle de la base, que l'aire totale de la sphère est quadruple d'un de ses grands cercles, et que celle d'une quelconque de ses