METHODE DES INDIVISIBLES. II

dans beaucoup de cas, ce qu'on ne pourrait découvrir que par des procédés longs et pénibles en suivant strictement la méthode d'exhaustion. S'agit-il, par exemple, de montrer que deux pyramides de même base et de même hauteur sont aussi de même volume, on les regarde comme composées Tune et l'autre d'une infinité de surfaces planes également distantes, qui en sont les éléments. Or, comme ces éléments sont égaux chacun à chacun, et que leur nombre est le même de part et d'autre, on en conclut que les volumes des pyramides, qui sont les sommes respectives de ces éléments, sont égaux entre eux.

114. Soit AB i^fig- 10) le diamètre d'un demi-c€rcle AGB ; soient ABFD le rectangle circonscrit, CG l.e rayon

Fig. 10.

ifi

perpendiculaire à DF ; soient de plus menées les deux diagonales CD, GF, et enfin par un point quelconque m de la droite AD, soit menée la droite mnpg perpendiculaire à GG, laquelle coupera la circonférence au point n et la diagonale GD au point p,

Goncevons que toute la figure tourne autour de GG comme axe : le quart de cercle AGG engendrera le volume de la sphère dont le diamètre est AB; le rectangle ADGG engendrera le cylindre droit circonscrit, c'est-à-

Il8 CHAPITRE III.

dire ayant même diamètre ; le triangle isoscèle rectangle CGD engendrera un cône droit ayant les lignes égales CG, DGpour hauteur et pour rayon de sa base, et enfin les trois droites ou segments de droite nig, ng^ pg engendreront chacune un cercle dont le centre sera au point g.

Or, le premier de ces trois cercles est l'élément du cylindre, le second est Télément de la demi-sphère et le troisième du cône.

De plus, les aires de ces cercles étant comme le carré de leurs rayons, et ces trois rayons pouvant visiblement former l'hypoténuse et les deux petits côtés d'un triangle rectangle, il est clair que le premier de ces cercles est égal à la somme des deux autres, c'est-à-dire que l'élément du cylindre est égal à la somme des éléments correspondants de la demi-sphère et du cône, et, comme il en est de même de tous les autres éléments, il s'ensuit que le volume total du cylindre est égal à la somme du volume total de la demi-sphère et du volume total du cône.

Mais on sait d'ailleurs que le volume du cône est le tiers de celui* du cylindre ; donc celui de la sphère en est les deux tiers ; donc le volume de la sphère entière est les deux tiers du volume du cvlindre circonscrit, ainsi que l'a découvert Archimède.

H5. Cavalerius avertit bien positivement que sa méthode n'est autre chose qu'un corollaire de la méthode d'exhaustion, mais il avoue qu'il ne saurait en donner une démonstration rigoureuse. Les grands géomètres qui le suivirent en saisirent bientôt l'esprit; elle fut en grande vogue parmi eux jusqu'à la découverte des nouveaux calculs, et ils ne tinrent pas plus de compte des objections qui s'élevèrent contre elle alors, que les Ber-