C. — Métaphys, l

gatif, c'est la fonction algébrique — cos(2''»r — a), qu'il faut effectivement substituer dans le calcul ou dans son résultat pour corriger les formules qui n'ont été établies que pour les angles aigus, lorsqu'on veut par une fausse supposition les étendre aux angles obtus.

De même, ce n'est point séc(2 7r -f- a) qui peut jamais être négative, puisqu'elle est parfaitement identique avec séca ; mais ce qui est négatif, c'est — séc(2a-+-a) qu'il faut absolument substituer à séc(aa — a), pour rectifier dans le résultat du calcul la première fausse supposition que l'on avait faite, en regardant les formules qui ne sont immédiatement applicables qu'au premier quadrant comme indistinctement applicables à tous les points de la circonférence. Et l'on ne peut pas dire que la quantité substituée à l'autre lui soit égale, car ce serait dire que — séc (271 -h a) est égale à séc(27c-|-a) ou que — i est égal à i , ce qui serait par trop absurde.

De même encore, en nommant y l'ordonnée d'une courbe, ce n'est point cette quantité j^ qui devient négative lorsqu'on passe d'un des côtés de l'axe des abscisses à l'autre :y reste toujours une quantité absolue. Mais ce qui est négatif, c'est l'expression algébrique — j, qui doit, en effet, être substituée à cette quantité absolue y lorsqu'on passe d'un côté à l'autre de l'axe des abscisses, pour corriger la fausse supposition que l'on avait faite en regardant mal à propos l'équation de la courbe comme immédiatement applicable aux quatre régions indistinctement, tandis qu'elle ne l'est réellement qu'à la première.

Il faut donc, lorsqu'on dit que telles ou telles quantités deviennent négatives ou imaginaires , considérer cette locution comme une manière abrégée de dire que ces quantités devront être remplacées dans le résultat du

û calcul par de» expressions algébriques en effet négatives

OD OU imaginaires ) afin de corriger la fausse supposition

K que l'on a faite dans la mise en équations, en regardant

se ces équations comme immédiatement applicables à tous

les cas. Ce n'est donc là qu'un langage fictif, mais d'ail- Ij leurs très utile, puisqu'il donne le moyen d'embrasser

» par une même formule tous les cas particuliers d'un

) problème, en se réservant d'y faire à la fin les modifica-

tions qui pourront se trouver encore nécessaires, à l'effer d'éliminer les contradictions que n'auraient pas entièrement fait disparaître les transformations opérées dans le cours du calcul.

Il semble qu'on pourrait éviter tout à la fois cette expressioA impropre, imaginée probablement pour abréger, et les circonlocutions qu'indique le développement d'une théorie exacte, en appelant valeur de corrélation l'expression quelconque qui doit remplacer la valeur absolue d'une quantité, afin de corriger les formules où elle entre, lorsqu'on veut les rendre immédiatement applicables à un nouveau cas non compris dans ces formules primitives : ainsi, en nommant tt l'angle droit, l'expres- — cos (aTT — a) serait simplement, non, comme il est absurde de le dire, la valeur de ce cosinus du supplément de a, ou la valeur de cosa, lorsque a est un angle obtus, mais sa valeur de corrélatiouy c'est-à-dire celle qu'il faut mettre en effet pour cosa, dans les formules relatives au premier quadrant, lorsqu'on veut les rendre immédiatement applicables au second, et de même — y ne serait pas la vraie valeur de^ correspondante à la partie gauche de l'axe des abscisses, mais seulement sa valeur de corrélation, c'est-à-dire celle qu'il faut en effet lui substituer pour que l'équation, qui n'est immédiatement applicable qu'à la première région de la courbe, le devienne à la seconde et à la troisième. Alors on pourrait

dire, sans crainte d'induire en erreur, la valeur de corrélation de telle ou telle quantité de\fient né gatwe^ devient imaginaire.

Les valeurs de corrélation des quantités qui appartiennent à un état quelconque du système ne sont donc autre chose que les fonctions algébriques qui doivent être substituées aux quantités absolues correspondantes du système primitif, dans les formules qui s'y rapportent, pour que ces formules deviennent immédiatement applicables à ce nouvel état du même système.

Ces fonctions algébriques peuvent être des expressions positives, négatives ou imaginaires, suivant la manière d'être du nouvel état du système à l'égard du premier ou système primitif, c'est-à-dire de celui sur lequeHes raisonnements ont été établis : ce sont les valeurs qui satisfont aux équations primitives, lorsqu'on veut les appliquer immédiatement au nouvel état du système, ou, ce qui revient au même, ce sont les valeurs que l'on tire de ces équations primitives lorsqu'on les applique immédiatement à ce nouvel état. Comme ces deux états sont différents, il peut arriver que ces valeurs soient négatives ou même imaginaires, mais ce ne sont point là les vraies valeurs, ce ne sont que les valeurs de corrélation ; les vraies valeurs sont les quantités absolues qu'elles représentent; et d'après la théorie que nous avons développée, ces véritables valeurs sont inverses à l'égard de celles qui leur correspondent dans le système primitif, lorsque leurs valeurs de corrélation sont des expressions négatives ; c'est ce que nous pouvons exprimer en disant que, quand la valeur de corrélation d'une quantité déifient négatiue, sa valeur absolue devient inverse, et c'est aussi ce qu'il faut entendre par le principe ordinaire que les valeurs négatii^es doiv^ent être prises en sens contraire des valeurs positives. Ces valeurs négatives ne sont autre

chose que des valeurs de corrélation, et les valeurs qu'on doit prendre en sens contraire des valeurs positives sont les quantités absolues qui répondent à ces valeurs de corrélation, et qui en effet sont alors inverses à Fégard de ce qu'elles étaient dans le système primitif. On peut donc ne rien changer même à l'énoncé de la proposition reçue, et nous n'avons prétendu ici que lui assigner le sens précis qu'elle doit avoir, et en donner la démonstration par les seuls principes mathématiques.

Lors donc qu'on dit, suivant l'usage, que telle ou telle quantité devient négative, cela doit s'entendre de sa valeur de corrélation relativement à tel ou tel autre état du système, et lorsqu'on dit qu'alors il faut prendre cette quantité dans le sens opposé à celui qu'on lui avait attribué dans l'expression des conditions du problème, cela ne doit, au contraire, s'entendre que de la valeur absolue, qui en effet doit être prise sous une autre acception que celle qu'on lui avait donnée, tellement que si dans la mise en équation on lui avait donné l'acception d'une quantité [m — ti), dans laquelle on aurait supposé m^n^ il faudra au résultat du. calcul la prendre dans l'acception de la quantité inverse [n — m), dans lequelle on supposera n'^ m.

Une valeur de corrélation négative n'est, comme l'on voit, autre chose que la valeur absolue prise collectivement avec le signe moins , et par conséquent une forme algébrique complexe, indiquant tout à la fois une quantité et une opération à faire sur cette quantité, opération même qui serait inexécutable si cette expression devait rester isolée. Mais toutes ces formes purement hiéroglyphiques disparaissent par les transformations; et les formules primitives, qui n'étaient d'abord immédiatement applicables qu'à l'étal du système sur le-

quel les raisonnements avaient été établis, deviennent par ces mêmes transformations immédiatement applicables à tous les autres états du même système successivement.

19. Il me semble qu'après ces développements toutes les difficultés doivent être levées. Rien absolument n'est changé dans la marche usitée jusqu'à ce jour; on prouve seulement qu'on a droit de la suivre, et qu'elle est entièrement fondée sur des notions purement mathématiques. On met à l'ordinaire chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. Lorsqu'on est enfin parvenu à ce résultat, et qu'il indique des opérations inexécutables, on en conclut que l'on est sorti de l'état primitif sur lequel les raisonnements ont dû êtr« faits : on s'occupe donc alors de rechercher quel est le nouvel état du système auquel doivent se rapporter les équations trouvées, en faisant aux hypothèses sur lesquelles le calcul a été établi les modifications qu'exige le passage du premier état du système au second ; opération pour laquelle il n'y a que l'habitude du calcul qui puisse servir de guide, et que l'on indique vaguement, en disant que les valeurs négatives doivent être prises en sens contraire des valeurs positives. Telle est la marche qu'on a toujours suivie depuis Descartes, et telle est aussi la conséquence des principes que nous nous sommes efforcé d^'établir, en écartant ou rectifiant les fausses notions que semblent indiquer

NCTE. I9«)

les tournures de phrases employées dans Tusage ordinaire de l'Analyse.

20. On peut voir par tout ce qui précède que l'Analyse ne diffère point de la synthèse^ comme on le suppose or*dinairement, en ce que celle-ci n'opère que sur des quan? tités connues, tandis que l'Analyse opérerait sur les quantités inconnues comme si elles étaient connues, mais bien en ce que cette dernière opère réellement sur les quantités négatives comme si elles étaient positives, ce que ne fait jamais la synthèse, quoiqu'elle opère aussi bien que l'autre sur les quantités inconnues. C'est précisément cette différence qui donne à l'Analyse un si grand avantage sur la synthèse, parce qu'elle englobe sous une même formule générale tous les cas pour lesquels il faut à l'autre autant d'examens et de formules particulières, celle-ci n'employant jamais que lés véritables quantités qu'elle veut comparer, et ne les comparant jamais que directement ou par l'intermédiaire d'autres quantités effectives comme elles. L'Analyse, au contraire, prend souvent pour termes de comparaison, entre les véritables quantités des êtres imaginaires, de pures formes algébriques ; mais ces formes algébriques portent toujours avec elles l'indice qui sert à les éliminer au moyen de diverses transformations qui tendent sans cesse à apurer le calcul, en le ramenant aux formes explicites, sans lesquelles il resterait inutile, comme un calcul non achevé.

On ne peut s'empêcher de reconnaître , comme nous l'avons dit au commencement de cette Note, une grande analogie entre ces procédés et ceux de l'Analyse infinitésimale. Celle-ci parvient à son but par des erreurs qui se compensent, l'autre par des hypothèses contradictoires qui se corrigent l'une par l'autre. Dans la première, les quantités infinitésimales ne sont que des quantités auxi-

aoO NOTE. ^

liaires qu'il faut nécessairement éliminer pour obtenir les résultats cherchés ; dans la seconde, les quantités négatives isolées et les imaginaires ne s'emploient de même qu'auxiliairement et comme des instruments qui deviennent absolument étrangers à Fédiflce, une fois qu'il est construit.