C . — Métaphys

donc, yy étant une quantité absolue, on a supposé n^ni. On a donc supposé d'une part 7/1 ]]>/i et de l'autre w^/?i; donc on a fait tout ensenble deux hypothèses contradictoires.

Mais, puisque n est la fortune du joueur avant l'événement et m après, le résultat du calcul qui donne /i^ m annonce que le joueur a perdu au lieu de gagner, c'est-à-dire que, pour redresser l'hypothèse sur laquelle le calcul était établi, il faut regardera comme représentant une perte et non un gain, et, pour ne pas altérer par là l'exactitude du calcul, il faut en même temps changer le signe, ce qui donnera alors

— jc = — p ou X = p,

8. Ce raisonnement peut s'appliquer à tout autre cas, mais il n'est pas nécessaire de le répéter à chaque fois, de même qu'il n'est pas nécessaire de répéter la démonstration d'une proposition quelconque chaque fois qu'on en fait usage; il suffît qu'on puisse la donner au besoin ; de même il suffit d'avoir établi le principe fondamental, pour demeurer convaincu qu'il est plus qu'inutile de recourir à des assertions aussi étranges que celle de dire, par exemple, qu'une perte est un gain négatif; ce n'est pas parce qu'une perte est un gain négatif qu'il a fallu substituer — x k x et changer en même temps la dénomination de gain en celle de perte, mais uniquement parce qu'on s'était trompé dans la mise en équation, en appelant gain ce qui était perte. Il a donc fallu rétablir la véritable dénomination et rectifier en même temps la fausse conséquence qu'on avait tirée de la première supposition.

On peut bien, dans la conversation, dire qu'une perte est un gain négatif, parce que les expressions figurées y sont admises ; mais elles sont absolument

inintelligibles en Mathématiques. Supposons que des joueurs assis autour d'une table soient convenus que le dixième du profit sera mis dans un tronc pour les pauvres : ne rirait-on pas de celui qui, à la fin du jeu, viendrait réclamer 1 00 écus sur le tronc , sous prétexte qu'ayant fait un gain négatif de 100 écus il doit retirer du tronc autant qu'il y aurait mis si son gain eût été positif? Ne lui dirait-on pas : Nous comprenons tous que vous avez perdu 100 écus, et nous en sommes fâchés pour vous, mais il n'en faut pas moins que vos 1 00 écus restent dans le tronc , parce que votre langage , tout clair qu'il est pour dépeindre votre aventure, n'est pas celui dont on se sert quand il s'agit de compter ? Dans le calcul, il faut appeler chaque chose par son nom.

9. Maintenant, pour généraliser cette doctrine, concevons un système quelconque variable de quantités. Supposons que les rapports ou relations quelconques qui existent entre ces quantités soient exprimés par des formules explicites, c'est-à-dire qui ne renferment que des quantités absolues et des opérations immédiatement exécutables.

Soient m et n deux quelconques de ces quantités, dont l'une au moins soit supposée variable, et que ces deux quantités, par l'efTet des changements qu'éprouve le système, deviennent alternativement chacune la plus grande des deux ; supposons enfin que les formules demeurent les mêmes pour toutes les valeurs qu'on attribuera aux deux quantités m et /i ; cela posé, je nomme p la différence variable de ces deux quantités m, 71, c'est-à-dire la plus grande moins la plus petite. Puisque, par hypothèse, m, n sont des quantités absolues, et qu'elles deviennent alternativement chacune plus grande que l'autre, il suit que la quantité p sera

l8o NOTE.

aussi toujours une quantité absolue, et que Ton aura tantôt p=zm — n et tantôt p = n — m, suivant qu'on aura m ^ /i ou /i ]> m.

Représentons par p' la quantité p pour le cas où Ton a m^n et par pf' pour le cas où l'on a /i^/w. Cela posé, les valeurs de p' sont toutes appelées directes les unes à l'égard des autres, aussi bien que toutes les valeurs de p^ entre elles ; mais les valeurs de p' sont dites inverses à l'égard des valeurs de pi', et réciproquement.

Ces quantités n'en sont pas moins toutes des quantités absolues, puisqu'elles n'expriment jamais que la plus grande des deux quantités absolues m, n, moins la plus petite; mais elles ne sauraient avoir lieu simultanément, et elles se rapportent à différents états consécutifs du système.

Maintenant considérons ce système dans un état quelconque, et que dans les formules qui s'y rapportent se trouve la quantité p'. Voyons comment je pourrais en éliminer cette quantité // et y faire entrer à sa place la quantité p", inverse à Tégard de l'autre.

Je commence par mettre au lieu de p' la quantité (m — n) qui lui est égale; ensuite j'observe que les formules s'appliquent par hypbthèse à toutes les valeurs qui doivent être attribuées à m et à/i, lesquelles peuvent devenir alternativement chacune plus grande que l'autre; je puis donc supposer que le système change de manière que n devienne plus grande que m, sans que ces formules entre m et ti cessent d'avoir lieu. Supposons donc en effet n^m\m — n devient une quantité inintelligible ; je la mets sous cette forme — [n — m), et, puisque nous avons alors ( 72 — w) = p", nous aurons — p' à substituer à — [n — m), qui avait elle-même été substituée à (m — n), et celle-ci à p/. Donc le tout se réduit à substituer immédiatement — p''' au lieu de /?', ou, ce qui

NOTE. l8l

revient au même, il n'y a qu'à mettre partout p, et, lorsqu'on voudra passer d'un état du système à l'autre, il faudra : i ^ changer le signe de cette quantité absolue ; 2^ lui attribuer en même temps la signification d'une quantité inverse relativement à celle qu'on lui avait attribuée d'abord, opération semblable à celle que nous avons indiquée ci-dessus pour le gain et la perte. Delà nous pouvons conclure ce principe général :

10. Toutes les fois qu'on veut passer d'un état quelconque du système à un autre et rendre immédiatement applicables à celui-ci les formules qui étaient immédiatement applicables au premier, il faut changer le signe de toutes les quantités qui se trouvent respectii^ement in^^erses de l'un à l'autre de ces états différents du même système.

Et réciproquement :

Si y dans les formules qui sont immédiatement applicables à un état quelconque du système, on vient à changer le signe d'une ou de plusieurs quantités qui y entrent^ les formules ainsi modifiées n'appartiendront plus au même état de système, mais à un autre, dont les quantités qui ont été changées de signe se troussent respectivement inverses, à l'égard de leurs correspondantes dans le premier état du système.

11. Si l'on ne changeait pas le signe des quantités qui, dans le nouvel état du système, se trouvent inverses à l'égard de leurs correspondantes dans le premier, il est évident qu'en tirant leurs valeurs par la résolution des équations ces valeurs seraient négatives, parce qu'elles porteraient partout le signe contraire à celui qu'elles doivent avoir : c'est ce qui fait que l'on exprime ordinairement cet état de choses en disant que ces

l8'2 NPTE.

quantités deviennent négatives ; mais cette expression est très impropre, et capable d'induire en erreur, car ce ne sont point ces quantités elles-mêmes qui deviennent négatives, mais ce sont seulement les valeurs que leur assignent les équations. Or ces valeurs sont fausses ; les véritables valeurs sont celles qui n'ont lieu que quand le changement de signe est fait. Jusque-là l'opération n'est pas complète, les quantités appartiennent au nouvel état du système quant à leurs valeurs absolues et à l'ancien quant aux signes dont elles sont affectées.

Il ne faut donc point perdre de vue que les quantités dites inverses ne le sont jamais que respectivement d'un état à l'autre du même système, que ce ne sont jamais que des quantités absolues, qui se trouvent tantôt positives, tantôt négatives, suivant les transformations que l'on fait subir aux équations où elles se trouvent, et qu'enfin aucune quantité n'est négative par sa nature, mais seulement par le signe qui la précède transitoirement dans les expressions algébriques. Le signe plus marque l'addition, le signe moiw^ marque la soustraction, rien au delà ; tout autre emploi de ces signes n'est que l'effet d'une transformation algébrique, qui ne s'admet dans le calcul que par induction.

12. C'est l'habitude du calcul qui apprend à discerner tout de suite les quantités qui deviennent inverses en passant d'un état à l'autre du système, et qui par conséquent doivent changer de signe lorsqu'on veut rendre immédiatement applicable à ce second état du système les formules qui ne se rapportaient explicitement qu'au premier. Tout le monde, par exemple, aperçoit que, quand on veut appliquer les formules trouvées pour le cosinus d'un arc moindre que le quart de la circonférence au cosinus d'un arc plus grand que le quart et

NOTE. l83

moindre que les trois quarts, il faut en changer le signe, mais ce n'est pas, comme on le suppose ordinairement, que ce cosinus devienne négatif; il peut être tantôt négatif et tantôt positif, suivant qu'on le fera passer d'un membre de l'équation à l'autre, où il pourra se trouver ; mais par lui-même c'est toujours une quantité absolue, et c'est pour cette raison même qu'il faut changer le signe qu'il avait dans les formules du système primitif, c'est-à-dire du premier quart de circonférence sur lequel les raisonnements ont été établis. Autrement ces formules, qui étaient exactes pour ce premier quadrant, ne le seraient pas pour le second, comme cela se prouve évidemment en cherchant directement par la synthèse les formules relatives à ce second quadrant.

En supposant d'une part, comme on le fait ordinairement, que les formules immédiatement applicables aux angles aigus le sont également aux angles obtus, et de l'autre que le cosinus des angles obtus est négatif, on fait tout à la fois deux fausses suppositions ; mais ces fausses suppositions se corrigent l'une par l'autre, car, si l'on nomme a l'angle aigu, on aura

cos« r= I — sin verse /i ;

ainsi, en supposant que la même formule s'applique à l'angle obtus, on suppose également que le cosinus de celui-ci est i — sinversea, tandis qu'au contraire il est réellement sinversea — i. On met donc dans le calcul I — sin verse a au lieu desinverse a — i,ou i — sinversea au lieu de — (i — sinversea),îou cosaaulieude — cosa. Mais comme, en vertu de la seconde supposition, le cosinus d'un angle obtus est regardé comme négatif, c'est-à-dire comme devant changer de signe dans le résultat du calcul, on remet dans ce résultat — cosa au lieu de cosa. De sorte que par les deux opérations suc-

l84 NOTE.

cessives on met d^abord cos a au lieu de — cosa, et ensuite — cos a au lieu de cos a, ce qui revient au même que si Ton n^avait rien changé. Mais on y a trouvé ainsi l'avantage de n'employer dans le cours du calcul qu'une même formule pour l'angle aigu et pour l'angle obtus.

13. De même pour les courbes, en regardant comme immédiatement applicable aux quatre régions l'équation qui n'est immédiatement applicable qu'à une seule, on fait dans le cours du calcul une fausse supposition, mais on corrige cette fausse supposition dans le résultat de ce calcul en y regardant comme négative, c'est-àdire comme portant le signe contraire à celui qu'elles devraient avoir, les coordonnées qui se trouvent, par rapport à leur axe, du côté opposé à celui pour lequel l'équation se trouvait, en effet, immédiatement applicable.

Tout cela se prouve facilement par la transformation des coordonnées, mais il est inutile de recommencer à chaque fois les raisonnements qui établissent cette espèce de compensation, produite par des hypothèses qui se corrigent l'une par l'autre. Il faut considérer ces hypothèses comme des moyens ingénieux de donner aux questions plus de généralité, en réunissant sous une même formule tous les problèmes du même genre, ou qui, sans être absolument identiques, ont cependant assez de connexion entre eux pour qu'on puisse passer de l'une à l'autre par de simples modifications dans les signes.

14. On connaît, par exemple, la formule (A) cos[a^ ù) = cosacosb — sinasinô;

mais cette formule ne se rapporte immédiatement qu'au

NOTE. l85

cas où les trois arcs a, by a-^-b, sont tous moindres que le quart de la circonférence ; car si on voulait l'appliquer immédiatement et sans modification aux arcs plus grands, on se tromperait, ainsi que l'on peut s'en convaincre facilement en cherchant directement par la synthèse les formules propres aux différents cas. Or, voici ce que l'on fait pour étendre cette formule à tous les cas. On la considère comme générale en effet pendant tout le cours du calcul, ce qui est une fausse supposition; mais, pour corriger dans le résultat l'effet de cette fausse supposition, on y regarde comme négatifs les cosinus des arcs plus grands que le quart de circonférence et moins grands que les trois quarts, c'est-à-dire comme devant changer de signe pour le second et le troisième quadrant; et quant aux sinus, on les regarde comme négatifs, c'est-à-dire comme devant changer de signe pour le troisième et le quatrième quadrant; ce qui ramène dans chaque cas la formule à ce qu'elle doit être, c'est-à-dire à ce qu'elle serait réellement si on l'avait cherchée directement par la synthèse. Ainsi, par exemple, si, fl et i restant chacun moindre que le quart de circonférence, a-hb est cependant plus grande il faudra donner le signe négatif à cos(aH-i), et la formule deviendra

— co$(a -^ b] z=z cosa cos h — sinasia6, ou

( B) ces [a -\- b ) =zsm a sinb — cosrt ces b,

formule qui est en effet celle que l'on trouve directement dans ce cas par la synthèse.

Représentons en général par siv et par cov le sinus verse et le cosinus verse d'un arc quelconque ; on aura pour l'équation du cercle

( I -+- siv )- H- ( I — - cov )^ = I ,

l86 NOTE.

et cette équation s'applique immédiatement à tous les points de la circonférence : nous pouvons donc nous en servir pour donner à la formule (A) trouvée ci-dessus toute la généralité dont elle est susceptible ; car, si l'on élimine les sinus et les cosinus pour y faire entrer les sinus verse et cosinus verse, on aura

, . il — siv(a-i- 6) m ( I siva)(i — siv^)

' l " — ( icova)(i cov A),

formule qui est immédiatement applicable aux quatre régions de la circonférence, sans aucune modification. Pour le premier quadrant, comme on a

siv (a 4- ^ ) < I , siv <z <C I , siv A < i , cov a<^i, cov b <^i^

la formule entre les sinus et cosinus redeviendra la formule (A) elle-même. Pour le second quadrant, en supposant («-i- i) plus grand que le quart de circonférence, mais a etb chacun moindre, on aura

siv (« H- A ) >• 1 , siv fl <^ I , siv 6 <1 I , ... ;

donc la formule deviendra

— [siv(« -f-^) — i] = (i — sivû)( I — siv^)

— ^ I — covfl)( I — cov 6),

ou, en rétablissant les sinus et cosinus et réduisant,

cos ( fl + ^ ) = sin a sin ô — cos a cos bj

équation conforme à la formule (B).

On doit donc regarder les formules (A) et (B) comme relatives à des cas particuliers et comme dérivées d'une même formule générale qui les comprend toutes ; c'est la formule (C), et lorsque, dans l'usage habituel, on emploie l'une de ces formules particulières, telles que (A), comme générale, on ne doit point oublier qu'elle ne fait

réellement que représenter celte formule générale, jusqu'à ce que le moment soit venu d'y faire les modifications convenables, mais que ce n'est pas la formule générale elle-même, puisque, si c'était elle, il n'y aurait besoin d'aucune modification.

15. Pour juger facilement quelles doivent être les modifications qui doivent avoir lieu dans chaque cas particulier, lorsqu'on n'emploie pas la formule générale, nous formerons le Tableau suivant, qui contient les valeurs absolues de toutes les quantités angulaires relatives aux quatre régions du cercle, toutes exprimées en valeurs des sinus et cosinus verses.

> co

Il II II

fi 'S

Il II II II

fi ■ ■ri

Il II II

D Or

li II II

XOTE. 189

16. Ce Tableau, dont la formation est évidente, indique tout de suite la modification qui doit être faite à chacune des formules qui se trouvent immédiatement applicables à un état quelconque du système pour les rendre immédiatement applicables à un autre, par exemple, en prenant pour terme de comparaison les formules relatives au premier quadrant, comme on le fait ordinairement. Nous y trouvons

ces a = i — siv a , et pour le second quadrant nous trouvons

ces a = siv II — I ;

donc, dans le second quadrant, le cosinus est inverse à l'égard de ce qu'il est dans le premier quadrant. Donc, suivant le principe général, pour rendre immédiatement applicables au second quadrant les formules qui se trouvent immédiatement applicables au premier, il faut y changer le signe du cosinus.

Comme dans ce second quadrant on a

cosa=:Siva — i ou cosa=: — (i — siv/?),

tandis que dans le premier on a, au contraire,

cosa = [ — siv tf ),

on est dans l'usage d'exprimer cette corrélation des deux cosinus, en disant que le cosinus devient négatif dans le second quadrant; mais c'est une expression impropre, comme nous l'avons déjà remarqué : le cosinus n'est négatif ni dans le premier ni dans le second quadrant ni dans aucun autre ; pour qu'il fût négatif dans le second quadrant, par exemple, il faudrait que sa valeur, qui est alors, comme on vient de le voir,

— (1 sivflr),

igo NOTE.

fût réellement négative comme elle en a Tapparence ; mais comme y dans ce second quadrant, on a

siv a ^ I , il suit que

( — sivrt)

est elle-même une quantité négative, et que par conséquent

— ( I — siv fl )

redevient une quantité positive.

17. Pour donner encore un exemple de l'usage de ce Tableau, je chercherai comment on doit modifier les formules du premier quadrant pour les rendre immédiatement applicables au troisième, en supposant que la sécante s'y trouve.

Je vois que dans le premier quadrant on a

séca =

1 — siv « et dans le troisième

séca

SlVtf — I

Or, pour ramener cette dernière équation à la même forme que la première, il faudrait changer le signe ; j'en conclus que la sécante du troisième quadrant est inverse à l'égard de celle du premier, et qu'il faut par .conséquent changer en effet le signe dans les formules. Pour nous en convaincre, multiplions, dans l'équation

sec a =

I — siv «

du premier quadrant, le numérateur et le dénominateur

de la fraction par le dénominateur

I — siv fl , et nous aurons

I siv a

sec a =3

( — siv a Y (i — siv fl)* Faisons la même transformation sur la formule

SeCfl=:

SIV fl — 1

du troisième quadrant, et nous aurons

siv fl I

secfl =

( SIV « — I )* ( siv fl — I )*

mais (siv a — i )* est la même chose que (i — siva)' : donc les valeurs de séca dans le premier et le troisième quadrant sont les différences des mêmes variables

SlVfl

( I — siv fl )* (1 — siv fl ) *

prises dans des sens inverses , d'où il suit que les sécantes du premier et du troisième quadrant, quoiqu'elles se confondent, tant pour leur grandeur que pour leur direction, n'en sont pas moins des quantités opposées, dans le sens que les analystes attachent à ce mot : ce qui prouve que ce mot ne présente pas toujours à l'esprit une idée bien claire , et que ces quantités opposées • ne sont autre chose que les quantités respectivement inverses que nous avons définies d'une manière claire et précise (9).

18. Il faut pourtant convenir que, sauf quelques exceptions assez rares, il est facile de reconnaître les quantités qui deviennent im^erses, ou, comme on le dit im-

proprement, négatwes, chaque fois que l'on passe d'un état à l'autre du système et par conséquent celles qui doivent changer de signe. Mais ordinairement on n'exécute point ces changements de signe à chaque mutation de l'état du système : on les laisse subsister pendant tout le cours du calcul, tels qu'ils seraient si l'on n'était pas sorti du Système primitif, c'est-à-dire de l'état sur lequel les raisonnements ont été établis pour la mise en équation, et que l'on prend pour le terme de comparaison auquel on rapporte tous les autres : on se réserve donc de faire, dans le résultat même, les changements qui se trouvent nécessaires. Cette manière de procéder est ce qui distingue essentiellement l'analyse de la synthèse. Celle-ci n'admet jamais dans le calcul que des formes explicites, c'est-à-dire des quantités absolues et des opérations immédiatement exécutables. D'où il suit qu'à mesure que l'état du système change, il faut qu'elle modifie ses formules d'une manière analogue, afin qu'elles ne cessent jamais d'être le tableau fidèle de ce système qu'elle suit dans toutes ses mutations. L'Analyse, au contraire, part d'un état déterminé du système ; cet état déterminé est le système primitif qu'elle prend pour terme de comparaison, et sur lequel elle établit son raisonnement dans l'expression des conditions du problème. Dans ce raisonnement pour la mise en équation, elle procède absolument comme la synthèse, c'est-à-dire en considérant toutes les quantités comme absolues, et n'employant les signes plus et moins que pour indiquer des additions et des soustractions réelles. Mais ensuite, au lieu de modifier comme la synthèse ses formules primitives à mesure qu'elle passe d'un état à l'autre du système, elle regarde ces formules primitives comme appartenant sans distinction à tous les états successifs du système. Par ce moyen, elle se dispense d'exa-

XOTE. ' 193

rainer séparément chacun des cas particuliers, laissant au calcul lui-même le soin de redresser l'effet des fausses hypothèses, et renvoyant à la fin du calcul les modifica* tions qui pourront se trouver encore nécessaires alors . La synthèse ne s'occupe donc que des quantités absolues et des opérations immédiatement exécutables qui peuvent satisfaire aux équations proposées ; tandis que l'Analyse considère toutes les formes algébriques qui peuvent satisfaire aux équations trouvées. Mais elle fait disparaître ensuite les formes négatives et imaginaires, en les soumettant aux transformations ordinaires de l'Algèbre, comme si c'étaient de véritables quantités, et ramène ainsi ses équations aux formes explicites désirées, et sans lesquelles le calcul ne serait point achevé, puisqu'il serait susceptible de nouvelles simplifications.

Aucune quantité ne peut devenir soit négative, soit imaginaire, sans cesser d'être une véritable quantité, parce qu'il n'y a évidemment de véritables quantités que les quantités absolues. Mais on dit improprement que telle quantité devient négative ou imaginaire, pour dire qu'il faut en effet, dans le cours du calcul ou dans son résultat, substituer à cette véritable quantité une fonction négative ou imaginaire, afin de corriger par là les formules qu'on avait faussement supposées être immédiatement applicables au nouvel état du système. Ce n'est point cette quantité elle-même qui est négative ou imaginaire, c'est la forme purement algébrique qu'on est obligé de lui substituer pour maintenir l'exactitude des formules.

Ainsi, en nommant a un angle aigu et tt l'angle droit, ce n'est pas cos ( aw — a) qui est négatif : il est tout aussi positif que cos a; l'un et l'autre sont des quantités absolues parfaitement égales entre elles ; mais ce qui est né-