DÉFINITIONS

12. Les quantités se distinguent généralement -en 4juantités constantes et en quantités variables.

Les quantités qu'on nomme constantes ou déterminées sont celles dont les valeurs sont supposées iixes^ et -celles qu'on nomme variables ou indéterminées sont celles auxquelles on est maître, au contraire, d'attribuer successivement diverses valeurs.

Mais il faut observer que l'expression de quantités variables ne sauraitêtre prise dans un sens absolu^ parce qu'une quantité peut être plus ou moins indéterminée, plus ou moins arbitraire; or c'est précisément sur les divers degrés d'indétermination dont la quantité en général est susceptible que repose toute Tanalyse, et plus particulièrement cette branche qu'on nomme analyse ijifinitésimale^

13. Je divise toutes les quantités admises dans un calcul en trois classes ; i° celles qui se trouvent déterminées et invariables par la nature même de la question; 2° celles qui, étant d'abord variables, prennent ensuite des valeurs déterminées par des conventions ou des hypothèses subséquentes; 3** enfin celles qui doivent rester toujours indéterminées.

De la première de ces trois classes sont ce qu'on nomme les constantes ou données, telles que les paramètres dans les courbes. De la deuxième sont les va-

riables ordinaires, telles que les coordonnées des courbes, les sous-tangentes, les normales, etc., auxquelles on attribue telles ou telles valeurs déterminées lorsqu'on veut en découvrir les propriétés ou relations. De la troisième sont celles qui, étant plus ou moins indépendantes de celles des deux premières classes, demeurent aussi plus ou moins arbitraires, jusqu'à ce que le calcul soit entièrement achevé, et que pour cette raison j'appellerai quantités toujours variables.

Mais, quoique les quantités de cette troisième classe demeurent toujours variables, elles ne sont pas pour cela entièrement arbitraires, et, de même que les simples variables qui composent la deuxième classe sont liées avec les constantes qui composent la première par des équations ou conditions quelconques, en vertu desquelles elles ne peuvent varier que suivant certaines lois, de même aussi les quantités toujouî^s variables sont liées avec les variables ordinaires et les données tant par les conditions mêmes de la question que par les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi, de sorte qu'elles ne peuvent varier elles-mênies que suivant certains modes.

14. J'appelle quantité infiniment petite lonle quantité qui est considérée comme continuellement décroissante, tellement qu'elle puisse être rendue aussi petite qu'on le veut sans qu'on soit obligé pour cela de faire varier celles dont on cherche la relation.

Lorsqu'on veut trouver la relation de certaines quantités proposées, les unes constantes, les autres variables, on considère le système général comme parvenu à un état déterminé que l'on regarde comme fixe ; puis on compare ce système fixe avec d'autres états du même systè riî^ esquels sont considérés comme se rapprochant

continuellement du premier, jusqu'à en différer aussi peu qu'on le veut. Ces autres états du système ne sont donc à proprement parler eux-mêmes que des systèmes auxiliaires que Ton fait intervenir pour faciliter la comparaison entre les parties du premier. Les différences des quantités qui se correspondent entre tous ces systèmes peuvent donc être supposées aussi petites qu'on le veuf sans rien changer aux quantités qui composent le premier, et qui sont celles dont on cherche la relation. Ces différences sont donc de la nature des quantités que nous appelons infiniment petites^ puisqu'elles sont considérées comme continuellement décroissantes et comme pouvant devenir aussi petites qu'on le veut sans que pour cela on soit obligé de rien changer à la valeur de celles dont on cherche la relation.

L'unité divisée par une quantité infiniment petite est ce qu'on nomme (juantité infinie ou infiniment grande.

On comprend sous le nom de quantités infinitésimales les quantités infinies et celles qui sont infiniment petites.

\^\4naljse infinitésimale n'est autre chose que l'art d'employer auxiliairement les quantités infinitésimales pour découvrir les relations qui existent entre des quantités proposées.

15. On voit d'abord que, en leur qualité de simples auxiliaires, toutes ces quantités dites infinitésimales et leurs fonctions quelconques doivent nécessairement se trouver exclues des résultats du calcul, car ces résultats, ne devant être que l'expression des relations prescrites par les conditions de la question proposée, ne peuvent contenir que les quantités entre lesquelles existent ces relations. Donc les quantités qui n'ont été employées

qu'auxiliairement ne doivent plus s'y rencontrer. On ne les avait fait intervenir au commencement du calcul que pourfaciliterrexpression des conditions; mais, cet objet ime fois rempli, elles ne sauraient demeurer dans les formules et doivent par conséquent en être nécessairement éliminées. Il est d^ailleurs de lerur essence de ne pouvoir être employées qu'auxiliairement, car^ leur nature étant d'être toujours variabttes, même lorsqu'on a donné des valeurs déterminées aux quantités dont le résultat du calcul doit exprimer la relation, si elles se trouvaient dans ce résultat, elles le feraient varier lorsqu'il doit rester fixe ; et^ en effets les résultats de cette nouvelle analyse ne peuvent être différents de ceux de l'analyse ordinaire : donc, puisque celle-ci n'adn^et point de quantités infinitésimales, il faut bien que celles qui peuvent être admises dans l'autre finissent toujours par être éliminées.

16* On voit par ce qui précède que les quantités appelées infiniment petites en Mathématiques ne sont point des quantités actuellement nulles, ni même des quantités actuellement moindres que telles ou telles grandeurs déterminées, mais seulement des quantités auxquelles les conditions de la question proposée et les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi permettent de demeurer variables, jusqu'à ce que le calcul soit entièrement achevé^ en décroissant continuellement, jusqu'à devenir aussi petites qu'on le veut, sans que l'on 'soit obligé de changer en même temps les valeurs de celles dont on veut obtenir la relation. C'est en cela uniquement que réside le véritable caractère des quantités auxquelles on a donné le nom d^ infiniment petites, etnon dans la ténuité dont leur dénomination semble supposer qu'elles sont effectivement douées ni dans la nullité ab-

solue qu'on pourrait leur attribuer, et la notion, comme on le voit, en est parfaitement simple et dégagée de toute idée vague ou contentieuse.

17. Pour éviter les circonlocutions, je comprendrai dans la suite sous le nom de quantités désignées toutes celles qui composent les deux premières classes dont nous avons parlé (13), c'est-à-dire toutes celles qui font le sujet de l'analyse ordinaire et dont on veut obtenir la relation, ou qui peuvent entrer dans le résultat du calcul. J'appellerai, au contraire, quantités non désignées toutes celles qui composent la troisième classe, c'està-dire celles qui demeurent toujours variables et sont par conséquent plus ou moins indépendantes de celles qui composent les deux premières classes. Ainsi, c'est parmi les quantités non désignées que l'on doit compter les quantités infinitésimales, et, d'après les définitions données ci-dessus, il est aisé de voir que les quantités infiniment petites ne sont autre chose que des quantités non désignées, qui sont considérées comme décroissant graduellement et simultanément jusqu'à devenir aussi petites qu'on le veut.

18. Appliquons tout ce qui vient d'être dit à l'exemple déjà traité.

Le rayon MC étant donné {fig' i) se trouve être une quantité déterminée dès le commencement parla nature même de la question ; ainsi elle est désignée et de la première classe de celles dont nous avons parlé (13).

Les lignes DP, MP, TP, MT sont d'abord variables et ne deviennent déterminées que par l'hypothèse subséquente que la tangente doit passer par le point M ; mais, cette supposition une fois faite, toutes ces quantités doivent être considérées comme fixes jusqu'à la fin

du calcul : ainsi, elles sont aussi des quantités •dé&ignée& et de la deuxième classe de celles dont nous avons parlé (13). Ces mêmes quantités, qui sont les coordonnées, la tangente et la sous-tangente de la courbe au point M, composent donc, avec la constante MC et celles qui en sont des fonctions quelconques, le système général des quantités désignées, c'est-à-dire celles dont on cherche la relation et qui peuvent seules entrer dans le résultat du calcul ou faire le s-ujet de T Algèbre ordinaire.

y\u contraire, les lignes DQ, NQ, TQ, T'Q, MZ, RZ,... sont celles que nous avons appelées quantités non désignées et qui forment la troisième classe dont nous avons parlé (13), parce qu'elles demeurent toujours variables ; cary comme nous restons toujours maîtres de faire MZ et RZ aussi petites que nous le voulons sans changer la valeur des quantités désignées dont nous avons parlé ci-dessus, ces quantités MZ, RZ sont de celles que nous nommons infiniment petites, et les autres DQ, NQ, TQy T'P, Ï'Q, qui sont évidemment fonctions de ces quantités infiniment petites, demeurent également toujours variables et par conséquent sont de celles que nous nommons quantités non désignées.

19. Deux quantités quelconques sont dites infini-ment peu différentes Tune de l'autre lorsque le quotient de l'une par l'autre ne diffère de l'unité que par une quantité infiniment petite.

On dit qu'une quantité est infiniment petite relatii^ernent à une autre quantité lorsque le quotient de la première par la seconde est une quantité infiniment petite, et réciproquement alors la seconde est dite infinie ou infiniment grande relativement à la première.

On voit par là qu'une quantité, même infiniment

petite, peut se trouver infiniment grande relativement à telle autre quantité, et que réciproquement une quantité, même infiniment grande, peut se trouver infiniment petite relativement à telle autre. Car si Ton suppose que jr, par exemple, soit une quantité infiniment petite, x^. sera une quantité infiniment petite relativement à la première^ quoique cette première soit infiniment petite elle-même, puisque le rapport de la seconde à la première est X, qui par hypothèse est une quantité infiniment petite.

Pareillement, si X représente une quantité infiniment grande, elle n'en sera pas moins infiniment petite relativement à X^, puisque le quotient de celle-ci par la première sera X, qui par hypothèse est une quantité infinie.

20. Cette observation donne lieu de distinguer les quantités infinitésimales en différents ordres. Si x, par exemple, est prise pour représenter une quantité infiniment petite du premier ordre, x^ sera une quantité infiniment petite du second ordre, x^ une quantité infiniment petite du troisième ordre ; ainsi de suite.

Pareillement, si X est prise pour représenter une quantité infiniment grande du premier ordre, X^ sera une quantité infiniment grande du second ordre, X^ une quantité infiniment grande du troisième ordre ; ainsi de suite.

Deux quantités, de quelque ordre qu'elles soient, sont dites du même ordre lorsque leur rapport est une quantité finie.

Toutes les fois que, de deux quantités quelconques ajoutées ensemble ou soustraites Tune de l'autre, l'une se trouvera infiniment petite relativement à l'autre, celleci se nommera quantité principale et l'autre quantité

accessoire. Ainsi ^ par exemple, dans la somme X-H x des quantités dont on vient de parler, X est la quantité principale et x la quantité accessoire, et, dans la somme j: 4- o:^, X est la quantité principale et x^ est la quantité accessoire.

21 . Comme il est important que les diverses notions données ci-dessus deviennent familières, nous entrerons encore dans quelques détails à ce sujet.

L'objet de tout calcul se réduit à trouver les relations qui existent entre certaines quantités proposées ; mais la difficulté de trouver immédiatement ces relations oblige souvent de recourir à l'entremise de quelques autres quantités qui ne font point partie du système proposé, mais qui par leur liaison avec les premières peuvent servir comme d'intermédiaires entre elles. On commence donc par exprimer les relations qu'elles ont toutes ensemble ; après quoi on élimine du calcul celles qui n'y sont entrées que comme auxiliaires, afin d'obtenir entre les quantités proposées seules les relations immédiates qu'on voulait découvrir.

Lorsque, parmi ces quantités auxiliaires, il s'en trouve d'une nature telle qu'on soit maître de les rendre toutes à la fois aussi petites qu'on le veut sans faire varier en même temps les quantités proposées, cette circonstance donne lieu à des simplifications accidentelles très importantes, et ce sont précisément ces simplifications qui ont fait naître cette branche de calcul qu'on nomme Analyse infinitésimale, laquelle n'est autre chose que l'art Je faire choix de semblables auxiliaires, les plus convenables suivant les différents cas, de s'en servir de la manière la plus avantageuse pour exprimer les conditions des diverses questions et pour opérer ensuite rélimination de ces mêmes quantités, afin qu'il ne reste

plus dans les formules que les seules quantités dont on voulait connaître les rapports.

22. Cela posé, concevons un système quelconque de quantités, les unes constantes, les autres variables, et qu'il s'agisse de trouver les rapports ou relations quelconques qui existent entre elles.

Pour établir nos raisonnements, commençons par considérer le système général dans un état quelconque déterminé que nous regarderons comme fixe. Examinons les relations qui existent entre les diverses quantités de ce système fixe ; ce sont ces quantités et celles qui en dépendent exclusivement que nous appelons quantités désignées (17).

Considérons maintenant le système proposé dans un nouvel état quelconque différent du premier, et, puisque chacune des quantités qui le composent n'est qu'une quantité auxiliaire, attendu que ce nouvel état n'est imaginé que pour trouver plus facilement les relations des quantités qui composent le premier, nommons ce nouvel état du système système auxiliaire.

Concevons enfin que ce système auxiliaire s'approche graduellement du système fixe, de sorte que toutes les. quantités auxiliaires qui composent le premier s'approchent simultanément des quantités désignées qui leur correspondent dans le système fixe, tellement qu'on soit maître de supposer leurs différences respectives toutes en même temps aussi petites qu'on le veut ; ces différences respectives seront ce que nous avons appelé quantités infiniment petites (14).

Comme les quantités de ce second système sont purement auxiliaires, elles ne peuvent entrer dans le résultat du calcul, puisque ce résultat n'est que l'expression des relations qui existent entre celles qui composent le

premier, d'où il suit que les quantités infiniment petites dont nous venons de parler et toutes leurs fonctions doivent nécessairement se trouver exclues de ce même résultat.

i. Maintenant je me demande ce qui serait arrivé si dans le cours du calcul on eût rencontré une quantité constante et une de ces quantités infiniment petites ajoutées ensemble, et que, en considérant que cette dernière peut être supposée aussi petite qu'on le veut tandis que l'autre ne change pas, on l'ait négligée, pour simplifier le calcul, comme de nulle importance vis-à-vis de la première.

La conclusion naturelle serait sans doute que l'erreur occasionnée ainsi pourrait toujours être rendue aussi petite qu'on le voudrait en diminuant de plus en plus la valeur arbitraire de la quantité négligée.

Mais pour cela il faut que cette valeur arbitraire ellemême ou quelques-unes de ses fonctions entrent dans le résultat de ce calcul ; autrement, elle n'aurait sur lui aucune influence et ne pourrait par conséquent servir à le rectifier par sa diminution successive.

Donc, si elle ne s'y rencontre pas, c'est une preuve que l'erreur se sera rectifiée d'elle-même, car d'après la marche du calcul, si elle subsistait encore, elle ne pourrait être qu'infiniment petite : or elle ne peut être telle, puisqu'il n'y a point de quantité infiniment petite dans le résultat ; donc l'erreur commise dans le cours du calcul a dû disparaître d'une manière quelconque, et c'est ce que les propositions suivantes démontreront rigoureusement.