PROBLÈME IL

(63) On demande la valeur qu'il faut attribuer à x pour que la fonction \Z 2 ax xx

soit un maximum , c'est-à-dire plus grande que si l'on attribuoit à 4 : une autre valeur quelconque.

Soit | /.ax — xx—y ou 2 . a x—xx , et construisons une courbe dont l'abscisse soit x et l'ordonnée y , la question sera donc de trouver la plus grande ordonnée de cette courbe. Soit A MB {Fig. 4.) cette courbe et MP sa plus grande ordonnée : cela posé, puisqu'à compter du point M les autres ordonnées décroissent. soit du côté de A, soit du côté de B , il est clair que la tangente de la courbe au point M doit être parallèle à AB.

Donc en nommant, comme ci-dessus , Q l’an-

gle formé parla tangente delà courbe et Fordonnée , on aura au point M, cot. Q=o, ou

( 62 ) lim. ^^= 0 . Je différentie donc l’équation de la courbe , et j’ai l’équation imparfaite ydy=adx — xdx ou ^ == ~ÿ~ ’ ^ onc / d y\ a—~x

fai l’équation rigoureuse lim. J = -y- ou

cot. Q = —Or on doit avoir cot. Q=o;

donc—- = o , ou enfin a=x , ce qu’il falloit

trouver.

(64) Le procédé à suivre pour trouver la plus grande ordonnée d’une courbe quelconque, est donc de différentier l’équation,

d’en tirer la valeur de lim. î de

l’égaler à zéro. On énonce communément cette règle en disant simplement qu’il faut différentier y et égaler dy à zéro ; mais si cet énoncé est plus court, il est aussi moins exact.