R 2 ° U RS—MP

Puisque la limite ou dernière valeur

■j 0 * mijiuu aermere valeur

deRSestMP, ilest dair qae la lhnite ou

dernière valeur de R Z ou RS — MP est o>

et que celle de — est —*

(21) Ainsi on peut dire en, général qu 'une grandeur infiniment petite nest autre chose qu y une quantité dont la limite est o, et qu au contraire , une quantité infiniment grande ré est autre chose qu y une quantité dont la li -

mite est —.

(22) On comprend sous le nom de quantités infinitésimales les quantités infinies ou infiniment grandes, et celles qui sont infiniment petites 3 toutes les autres grandeurs se nomment quantités finies.

( 2 3) Dire, suivant l’usage vulgaire , que l’infini est ce qui n’a point de bornes, ce qui est sans limite, ou ce dont la limite n’existe pas , c’est donc en donner une idée simple et qui n’est pas sans fondement, puisqu’en effet les quantités infinitésimales ont toutes pour limites , les unes o, les autres

—, qui ne sont point de vraies quantités.

(24) Mais de ce que leslimites de ces quantités

du Calcul infinitésimal . 2 7

sont o ou , il ne s’ensuit nullement que

ces quantités elles-mêmes soient des êtres chimériques ; car , au contraire , par la définition même (ig), une quantité infiniment petite est la différence de deux quantités très-effectives , savoir, une quantité quelconque auxiliaire et sa limite.

( 25)11 suit encore de là qu’on peut regarder toute quantité infiniment petite comme la différence de deux quantités auxiliaires qui ont pour limite une même troisième quantité désigjiée $ car, soient X et Y deux quantités auxiliaires différentes qui aient pour limite une même troisième quantité A.

Je dis que X—Y est une quantité infiniment petite. En effet, puisque la limite ou derrière valeur de X est A, et quç celle de Y est aussi A ; il s'ensuit que la dernière valeur de X—Y sera A—A ou o. Donc la liante de A-f-(X—Y) est A; donc on peut regarder X—Y comme la différence d’une quantité auxiliaire A-t-(X—Y) à sa limite A 5 donc (iq) cette différence est une quantité infiniment petite ; donc on peut dire en général qu’une quantité infiniment petite n est autre chose que la dijfiêrençe de

deux quantités auxiliaires qui ont la même limite,

(26) Deux quantités ne peuvent avoir pour limite une même troisième quantité sans avoir elles-mêmes entre elles pour dernière raison une raison d’égalité 3 car, puisque par hypo-

thèse, la limite ou dernière valeur de —

est 1 , de même que celle de — 3 il est clair

que la limite ou dernière valeur de

est aussi l’unité. Or- ■ y ~ - = —3 donc la li-

vÂy

mite ou dernière valeur de

est 1, c est-

à-dire , que la dernière raison de X à Y est une raison d’égalité. Donc, en général, on peut dire cffune quantité infiniment petite est le rapport de la différence de deux grandeurs qui ont pour dernière raison une raison d'égalité à chacune de ces grandeurs «

(27) Enfin, il est évident qu’on peut dire

du Calcul infinitésimal. 2 g

encore qu 9 une grandeur infiniment petite rilest autre chose qu’une quantité non désignée , à laquelle on attribue d’abord une valeur quelconque arbitraire , et qu’on suppose ensuite décroître insensiblement jusqu’à zéro . Ainsi, en général, lorsqu'on dit, soit Z,par exemple, une quantité infiniment petite , c'est précisément la même chose que si l'on disoit, soit Z une quantité quelconque arbitraire ( et par conséquent auxiliaire , car les quantités désignées ne peuvent être arbitraires), et supposons ensuite que cette quantité aille en décroissant perpétuellement jusqu’à zéro*

(28) Une quantité est dite infiniment petite , relativement à une autre quantité , lorsque le rapport de la première à la seconde est une quantité infiniment petite, et réciproquement, la seconde est dite infinie ou infiniment grande relativement à la première*

(29) Deux quantités sont dites différer infiniment peu , ou être infiniment peu différentes l’une de l'autre , lorsque le rapport

l'une à l’autre ne diffère de l'unité que d une quantité infiniment petite, de manière que leur dernière raison soit une raison d ega u hte 5 telles sont évidemment R S e t M P.

3o Réflexions

sur la Métaphysique

( 3 o) On nomme Calcul infinitésimal 1 art qui enseigne à découvrir , par le secours des quantités que je viens de nommer infinitésimales , les rapports ou relations quelconques qui existent entre les diverses parties d’un système quelconque de quantités proposées;

Ces quantités infinitésimales n’étant toutes que des quantités auxiliaires, c’est-à-dire , introduites seulement dans le calcul pour faciliter l’expression des conditions proposées , il est clair qu’il faut absolument les éliminer du calcul pour obtenir le résultat désiré , c’est-à-dire , les rapports cherchés ; ainsi on peut dire en quelque sorte que le calcul infinitésimal est un calcul non fini, ou qui n’est pas encore achevé , parce qu’en effet dès qu’on est parvenu à en éliminer les quantités auxiliaires et qui n’y entrent pas essentiellement, il cesse d’être infinitésimal , et ressemble en tout au calcul algébrique ordinaire (*).

Pour achever d’expliquer les principaux

(*) Chacun sait, en effet, qu’un calcul où il entre dei quantités infinitésimales n’est censé fini, et qüe l’ôn n6 compte sur l’exactitude du résultat, que du moment où toutes ces quantités infinitésimales sont entièrement éliminées.

du Calcul infinitésimal. 3 l

termes relatifs à la théorie de l’infini en général , il me reste à dire ce que j’entends par équation imparfaite.

( 3 i) J’appelle équation imparfaite toute équation dont les deux membres sont des quantités inégales, mais infiniment peu différentes l’une de l’autre , ou , ce qui revient au même, toute équation dont les deux membres, quoique inégaux, ont pour dernière raison une raison d’égalité.

Ainsi, par exemple, les équations fausses

MZ MZ y , , v

TP =/^ Z et — = -—trouvées(9), sont

ce que j’appelle équations imparfaites, puisque les quantités négligées dans les équations exactes d’où elles sont tirées sont des quantités infiniment petites j c’est donc sur la théorie de ces sortes d’équations qu’est fondée la solution de la question traitée ci-dessus et de toutes celles du même genre. C’est pourquoi je vais rechercher les principes de cette théorie que est la base du calcul infinitésimal, ou 9 plutôt, qui n’est autre chose que le calcul infinitésimal lui-même.

THEOREME I er .

Principes fon- (32) Si dans une équation quelconque im l’analyse înfi- parfaite on substitue à la place de l une nitéûmale. que i co1ique des quantités qui y entrent , une autre quantité qui en diffère infiniment peu > ou dont le rapport à la première ait l unité pour limite ou dernière valeur , Véquation qui résultera de cette transformation ne pourra être une équation fausse , c’ est-à-dire , qu’elle deviendra absolument exacte , ou qu’au moins elle demeurera ce que j’ai nommé équation imparfaite *

En effet, puisque par hypothèse on n’à fait que substituer à la place (Tune quantité une autre quantité dont la dernière valeur est la même , et dont le rapport à la première a l’unité pour limite, il est clair que cette substitution n’a rien pu changer aux dernières valeurs des membres de l’équation proposée * ni à leur dernière raison. Or cette derniere raison étoit, par hypothèse, l’unité avant la substilution ; donc elle la sera encore après; donc l’équation conservera le caractère de celles que j’ai nommées imparfaites , à moins qu’elle ne devienne rigoureusement exacte i ce qu’il falloit prouver.