Soient

Théorème de Fermât généralisé.

i, a, b, c, d, etc., N — i,

les n nombres inférieurs et premiers à un nombre quelconque N.

Multipliez tous ces nombres par l’un quelconque d’entre eux, x, autre que l’unité; ce qui donnera

x, ax, bx , ex, dx, etc., N — i.x,

il est clair que ces n produits seront tous différents entre eux, et de plus premiers à N; et que, par conséquent , étant rabaissés au-dessous de N par la division, ils ramèneront dans un autre ordre la première suite

1 , a, b , c, d, etc., N — i .

Donc le produit de ces nouveaux nombres x , ax, bx, etc., qui est x'1 ( abc ... N — i), sera équivalent au produitdes premiers («for/... N — î), relativement au nombre N; de sorte qu’on aura

xn ( abcd ... N — i) = (< abcd ... N — i ) H- OTlN,

et, divisant de part et d’autre par {abcd... N — i), qui est un produit premier à N, il viendra

xn = i -+- 3TLN,

•Ole désignant un multiple nécessairement entier. C’est-à-dire que la puissance n d’un nombre quelconque x premier à N, étant diminuée de l’unité, est toujours divisible par N; de sorte qu’on a toujours

Xn — I — 21LN ,

ce qu’il fallait démontrer.

Article II.

Théorème de Wilson généralisé, etc.

2. On peut démontrer d’une manière aussi simple le théorème général analogue au théorème de Wilson, que j’ai présenté plus haut, mais qui embrasse à la fois tous les nombres N simples ou composés.

Formez tous les produits n — i àn-i, des n nombres i , a, b, c, cl , etc., N — r, inférieurs et premiers à N; et vous aurez n produits différents entre eux, tous premiers à N, et qui, étant rabaissés audessous de N par la division , reviendraient aux n premiers nombres proposés i, a, b , c, d, etc., N — t, mais dans un nouvel ordre, ce qui est indifférent pour notre objet. Or il est évident que le produit de ces n produits différents est (abcd... N — i ; et comme ce produit doit revenir au même, relativement à N, que le simple produit ( abcd ... N — t ), il s’ensuit qu’on a

( abcd ... N — i — ( abcd ... N — i ) -+- 3HN,

ou bien

(. abcd ... N - i )» = (abcd... N - t )2 + ait N.

Mais par le théorème précédent, le premier membre (abcd... N — i)" est égal à l’unité; donc on a

(abcd... N — i )2 — i = 3iLN;

c est-à-dire que le carré du produit de tous les nombres inférieurs et premiers a un nombre quelconque N, étant diminué de l'unité , est toujours divisible par N.