En considérant les puissances quelconques

i, aq, b 9, cq ; etc., N — t9,

on démontrerait de meme que leur somme donnerait, relativement à N, le même reste que la somme des nombres

xq, xqaq, xql>q, xqcq , etc., xqiS — 1 7, et que, par conséquent, la différence

(. xq — i) (i + aq -+- bq - h etc. -4- N — i q) est toujours divisible par N.

Si N est un nombre premier p. et q une puissance inférieure à p — i , le facteur binôme xq — i, qui ne peut devenir divisible par p pour plus de q valeurs de x, ne le sera donc point pour tous les nombres x , î , 2, 3, 4? etc., jusqu’à p — 1. Donc, en employant pour x une des valeurs qui ne donnent point xq — 1 divisible par p, on en conclura que la somme des puissances q de tous les nombres

1, 2, 3, 4> 5, 6, etc., p — 1,

est toujours divisible par p, q étant inférieur à p — 1 ; et même, comme on le verra plus loin, q étant un nombre quelconque, mais non divisible par p — 1 .

Remarque sur ces démonstrations et sur les deux principes qui leur servent de base.

4. Les démonstrations précédentes sont d’autant plus remarquables qu’elles ne supposent absolument que ces deux principes d’arithmétique : l’un , que le résultat d’un produit est toujours le même dans quelque ordre que l’on multiplie les facteurs ; l’autre, que si deux nombres sotit premiers par rapport à un troisième , leur produit est aussi premier par r apport à ce troisième nombre.

5. Le premier principe, qui permet de changer à volonté l’ordre de plusieurs facteurs a, b , c, d, e, b, sans troubler le résultat final de l’opération, est pour ainsi dire évident. Car on voit d’abord qu’011 peut changer l’ordre de deux facteurs voisins.

Je suppose, en effet, que l’opération soit faite en suivant cet ordre

et qu’on change Tordre des deux facteurs voisins c et d , en sorte qu’011

ait actuellement

je dis que les produits seront les mêmes. Car, supprimez le dernier facteur b, ce qui ne trouble pas l’égalité, si elle existe; supprimez ensuite, et par la même raison , le facteur e; il suffit de démontrer l’égalité des produits abcd et abdc ; or, soit p le résultat commun ab, et il ne reste qu’à prouver l’égalité

mais le premier produit peut se figurer ainsi :

(PPPPPPP P’ d\P P P P P P P Pi ,

IP P P P P P P P ’ l PPPPPPP Pi

ou l’on voit p pris c fois dans la ligne horizontale, et toute cette ligne p x c prise d fois.

Mais on y voit également p pris d fois dans la ligne verticale, et toute cette ligne p X d prise c fois.

Ainsi, le produit p x c x d, non-seulement est égal au produit p x d x c, mais il est encore identique avec lui : c’est la même chose vue de deux manières différentes.

Actuellement il est clair que le produit de tant de facteurs qu’on voudra est identique avec le produit des mêmes facteurs pris dans un nouvel ordre quelconque. Car, parle théorème précédent, vous pouvez amener un facteur quelconque à la place de son voisin, et par conséquent, de proche en proche, à telle place que vous voudrez. Vous pourrez donc, sans changer l’un des deux produits, mettre ses différents facteurs précisément dans l’ordre où ils sont écrits dans l’autre, auquel cas l’identité de ces deux produits est manifeste.

(L Le second principe se trouve démontré dans les Éléments d'Euclide; j’en ai donné, il y a longtemps, une démonstration facile, qui

a déjà passé dans quelques ouvrages, et que je crois devoir rapporter ici , à cause de sa simplicité.

Si deux nombres a et b sont premiers à N, leur produit sera aussi premier à N.

En effet, faites la même opération que si vous cherchiez le plus grand commun diviseur entre « et N; comme, par hypothèse, ils n’en ont pas d’autre que l’unité, vous trouverez une suite d’équations telles que celles-ci :

N = Ry + R',

où la dernière présentera nécessairement pour dernier reste l’unité. Multipliez toutes ces équations par />, et vous aurez

ab = />N q -+- />R, èN = bR q' H- />R',

bR = bR'q" H- b.

Or, s’il existait un commun diviseur 6 entrer*/? et N, vous voyez, par la première équation, qu’il diviserait nécessairement Z>R; et par la deuxième équation, qu’il diviserait nécessairement Z>R', etc.; et par la dernière enfin , qu’il diviserait nécessairement b : ainsi, 0 diviserait nécessairement N et />, ce qui ne se peut, puisque b est premier à N. Donc ab est premier à N.

Mais on peut encore tirer ce théorème de principes plus simples puisés dans la considération de Y ordre , comme nous le verrons dans le chapitre suivant.

Article III.

Sur le nombre r/ui marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers à un

nombre donné.

7. Quant au nombre n qui marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers à un nombre donné N, on sait qu’il dépend de N et des facteurs simples qui entrent dans sa composition : de sorte que si

ces facteurs simples sont représentés par a, é, y, etc., on a toujours

Euler a démontré le premier ce théorème en plusieurs endroits des Mémoires de Saint-Pétersbourg. M. Legendre et M. Gauss en ont aussi donné la démonstration dans leurs ouvrages; mais il me semble qu’on en peut encore présenter une autre plus simple, et qui s’offre, pour ainsi dire , d’elle-même dans la question proposée.

En effet, si de la suite des nombres 1, 2, 3, 4v jusqu’à N, on ôte tous les multiples de a; que des nombres restants on ôte tous les multiples de ë, et ainsi de suite ; il est clair qu’on aura ôté tous les nombres qui peuvent avoir avec N quelque commun diviseur. Ainsi les nombres restants, qui ne peuvent contenir aucun des facteurs simples de N, seront nécessairement premiers à N. Il s’agit donc d’examiner combien il doit rester successivement de ces nombres, à mesure qu’on retrancherait de la suite

tous les multiples de a; et du reste tous les multiples de ë; et du nouveau reste les multiples de y, et ainsi de suite.

Or, il est évident que le nombre des multiples de a , contenus dans la suite précédente, est le sous-multiple a du nombre N de tous les termes, N

c’est-à-dire est - : car on ne trouve ces multiples de a, qu’en prenant

les termes de a en a, à partir du premier 1 ; on aura donc, pour le

nombre N' des termes restants, quand on ôte les - multiples de a,

ou bien

Actuellement, de ces N' nombres il faut ôter les multiples de ë; or je dis qu’il y en a la même partie aliquote que dans les N premiers, c’est-

à-dire qu’il y en a y En effet, je puis voir ces N' termes comme com-

posés de la suite des N premiers, moins la suite des multiples de a qu’on

a soustraits; or, dans la première suite, il y a - multiples de S, et

dans la seconde, qui est aussi une progression arithmétique, il est clair qu’il y en a la même aliquote. Donc, dans les N' termes qui font comme la différence des deux suites, il y en a aussi la même aliquote, c’est-à-

dire ~ Donc on a, comme plus haut, en marquant par N" le nombre

des ternies qui restent,

Maintenant , de ces nombres restants il faut ôter tous les multiples de y: or je dis que dans ces N" termes restants, il y en a encore la même aliquote que dans les N premiers et dans les N' seconds; c’est-à-dire qu’il

v en a — Car je puis voir ces N" ternies restants comme composés

des N' précédents, moins les — multiples de S qui y sont contenus.

Or, dans la première suite des N' termes, il est clair, comme ci-dessus, qu’il y a — multiples de y; et dans la seconde, qui est composée des — multiples de o, il est facile de voir qu’il y en a aussi la même aliquote (car cette suite n’est autre chose que les multiples de ê pris dans N. moins les multiples de ê pris dans les - multiples de a); donc, dans la différence N", il y a — multiples de y; donc, en ôtant les multiples de y, on aura pour le nombre N'" de ceux qui restent :

et ainsi de suite.

Ainsi l’on a

tr=:N (i — î)(i — y (i — etc.,

et par conséquent

ce qu’il fallait démontrer.

Remarque I.

8. Cette démonstration très-simple résulte, comme on voit, de ce principe que, dans les diverses suites de nombres que l’on considère, il y a toujours la même aliquote des multiples d’un même facteur. Ainsi , quand des N premiers nombres ou multiples de i , on veut ôter les multiples de a et compter ceux qui restent, il faut retrancher une