partie - de ces N nombres, ou multiplier N par i — ^ : et parmi ces

nombres restants, il y a encore proportionnellement autant de multiples de ê, qu’il y en a dans les N premiers, et par conséquent il y en a une partie -• Donc, si l’on veut les ôter et compter ceux qui restent,

il faut multiplier le premier résultat N ( i — ~ ) par i — ^ et ainsi de suite.

Dans les Mémoires de Saint-Pétersbourg pour 1780, je trouve qu’Euler a présenté une démonstration semblable qu’il regarde, avecraison, comme la plus simple, et dont l’idée lui avait été donnée par la manière même dont se compose la formule précédente, qu’il avait déjà trouvée par une autre analyse. Mais il y a une remarque importante à faire sur cette dernière démonstration : c’est qu’Euler y suppose précisément ce qui en fait toute la force, je veux dire, qu’il y a toujours la même aliquote des multiples d’un même facteur dans ces diverses suites où le nombre des termes est N, N', N", etc. Or cela ne se voit clairement que pour la première suite, car les autres cessent d'être des progressions par différence, et deviennent de plus en plus irrégulières. Ainsi l’auteur omet le seul point essentiel de la démonstration, le reste n’ayant aucune difficulté, et le théorème 11e se trouvait point par là solidement établi.

Remarque II.

9 Le nombre N étant par hypothèse de la forme N = c/é Çry'... ,

4o RÉFLEXIONS

l’ex [pression précédente de n, qui est

peut se réduire à celle-ci

n = ex.'—' (a — — 1 (ê — 1 (y — i)...,

ou l’on voit facilement que, si le nombre N = od est partagé en

facteurs quelconques P, Q, R,... premiers entre eux , le nombre n, qui marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers à N, est égal au produit de ceux qui marqueraient de même combien il y a de nombres inférieurs et premiers à chacun des facteurs P, Q, R,... de N.

Ainsi en indiquant, comme le fait Euler, par le signe 9 (N) la multitude des nombres inférieurs et premiers à un nombre N, si l’on suppose ce nombre décomposé d’une manière quelconque en facteurs P. Q, R. etc., premiers entre eux, on a ce théorème élégant

o (N) = 9 (PQR...) = 9 (P)-9 (Q).ÿ (R)....

Remarque III.

10. Si l’on décomposait N dans les deux facteurs i et N qui sont premiers entre eux, on aurait donc

d ou l’on voit qu’il faut compter 9(1) comme égal à 1. Cependant on ne peut pas dire qu’il y ait aucun nombre inférieur et premier à 1 ; mais on peut dire qu’il y a un nombre premier à 1 et non plus grand que 1, et qui est 1 lui-même; car ces deux nombres 1 et 1, quoiqu’ils soient égaux, doivent être regardés, suivant la définition, comme premiers entre eux , puisqu’ils n’ont d’autre commun diviseur que l’unité. C’est, au reste, une propriété qui n’appartient qu’à ces seuls nombres égaux. Donc, si l’on veut envelopper aussi ce cas unique dans la même expression commode que j’ai employée jusqu’ici, ii faut entendre, par nombre premier et inférieur à un autre, un nombre premier à cet autre et non plus grand. Et de cette manière, ce cas singulier qui regarde l’unité se trouvera compris parmi tous les antres.

Remarque IV.

11. L’expression générale du nombre n fait voir encore que n est toujours pair, excepté dans le cas de

N = i et N = 2,

où l’on a

y (i) = i et <p ( 2) = i .

Si N = 2I , I étant un nombre impair, on a

et partant

? (al) = ? (!)•

Ainsi il n’y a pas plus de nombres inférieurs et premiers au double d’un impair, qu’à cet impair lui-même. En géométrie, j’ai fait voir qu’il y a autant d’espèces de polygones réguliers de N côtés, qu’il y a de nombres inférieurs et premiers à N, ou simplement la moitié, si Ton ne veut compter que les polygones qui font à nos yeux des images différentes. On voit donc que, pour les polygones de 2I côtés, il n’y a pas plus d’espèces différentes que pour les polygones d’un nombre I de côtés, deux fois moindre. Ainsi, il n’y a pas plus d’espèces d’hexagones que d’espèces de triangles; pas plus de décagones que de pentagones, etc, , mais ce sont les seuls cas où la chose ait lieu ; car a est. après l’unité, le seul nombre qui donne <p ( 2) = 1.

Article IY.

Sur le nombre de tous les diviseurs possibles d’un nombre donné.

12. Considérons maintenant tous les diviseurs possibles que peut avoir un nombre N = a ; 6“ y..., en y comprenant 1 et le nombre H lui-même. Il est clair que ces diviseurs ne sont autre chose que les différents termes du produit fait de ces progressions géométriques