h g + ê2 4- g3 + S4 1 + ) + y2 + y3 -+- y4 -4-...-+- yv

D'où l’on voit, par la théorie des combinaisons, que le nombre total de ces termes est exprimé par

(X 4- i) (fx H- l) (v 4- i)....

Quant à la somme de ces mêmes termes, elle est le produit de nos progressions géométriques, et par conséquent

Sur le nombre qui marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers à tous les diviseurs possibles d’un nombre, donné.

13 Mais supposons ici qu’on veuille compter combien il y a de nombres inférieurs et premiers à tous ces diviseurs possibles. Si l’on ne regarde d’abord que les diviseurs élémentaires qui forment les termes de nos progressions, on aura ces différentes suites:

i 4- <p (a) 4- cp (a2) 4- <p (a3) +...+ <p (a;), i 4- <p (§) 4- <p (ê2) + cp (ê3) 4-...-+- 9 (&“),

1 + 9 (?) + 9 {y2) + 9 if) +-+ 9 (r),

Or, en vertu du théorème précédent (n° 9), il est manifeste que si l’on fait le produit de ces séries, ou aura pour résultat une suite de termes dont chacun marquera combien il y a de nombres inférieurs et premiers à chaque terme du produit de nos progressions, et par conséquent , à tous les diviseurs possibles de N ; mais chaque série

1 4- <p (a) H- 9 (a2) 4- 9 (a3) 4-. ..4- 9 (ax) vaut 1 4- (a — 1) 4- a (a — 1) 4- a2 (a — 1) 4-...4- aA~‘ (a — 1),

c’est-à-dire vaut 1 plus une progression géométrique dont la somme est a; — 1 ; donc la première série vaut en somme 1 4- a; — 1, c’est-àdire aL De même la deuxième série vaut en somme et la troisième f , et ainsi des autres; donc le produit de ces suites, ou le nombre cherché, est ax&ey'..., c’est-à-dire le nombre N lui-même.

On a donc ce théorème remarquable et qui nous sera utile dans la théorie des racines primitives :

Si l'on considère tous les diviseurs possibles d un nombre quelcon-

que N, et qilon veuille compter combien il y a de nombres inférieurs et premiers à chacuti d’eux , on trouvera en somme totale le nombre N lui-même.

M. Gauss est, je crois, le premier qui ait donné ce théorème dans ses Disquisitiones arithmeticæ ; mais sa démonstration, qui nous a paru un peu difficile , diffère en entier de la précédente. Il me semble que la nôtre est aussi directe et aussi claire qu’on puisse le désirer.

14. Avant de quitter ce sujet, j’ajouterai encore une proposition très-simple qui peut aussi servir dans la théorie des nombres.

On a fait voir plus haut que, si un nombre quelconque N est résolu en différents facteurs premiers entre eux, P, Q, R, etc., le nombre n , qui marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers à N . s’exprime facilement au moyen de ceux qui marquent combien il y a de nombres inférieurs et premiers aux différents facteurs P, Q, R,... : de sorte qu’on a cette formule élégante

n = 9 (N) = 9(PQR...) = <p (P).ÿ (Q).? (R)...'.

Or je vais démontrer que ces nombres premiers à N peuvent aussi s’exprimer à l’aide de ceux qui sont premiers aux facteurs P, Q, R,... de ce nombre composé N.

lo. Soient e un nombre quelconque premier à N ; et p, q, r,... des nombres respectivement premiers à ses facteurs P, Q, R,...; je dis qu’on aura, pour l’expression des nombres e premiers à N,

e = pQR + q PR 4- /PQ +....

En effet, il est aisé de voir que le second membre sera toujours premier à N. Car soit, s’il est possible, 0 un nombre qui divise à la fois la somme

pQR 4- 7 PR + / PQ 4-...

et le nombre