N = POR

5 diviserait nécessairement un des facteurs P, Q, R,... puisque ces facteurs sont premiers entre eux par l’hypothèse. Or, dans l’expression de e. qui est

p QR 4- q PR 4- rPQ +...,

ce facteur P, que 6 diviserait, entre dans tous les termes, hors dans un seul ; tous ces ternies sont donc divisibles par Q; la somme entière doit l’ètre aussi par hypothèse; donc le seul terme pQR où P n’entre pas doit l’ètre aussi : mais ni Q, ni R, etc., ne peuvent l’ètre par Q puisqu’ils sont premiers à P; donc p devrait être divisible par Q, aussi bien que P ; donc p ne serait pas premier à P, contre l’hypothèse. Donc

e = P QR + </PR -h rPQ +...

est premier à PQR..., ce qu’il fallait démontrer.

16. En prenant pour p, q , / ,... tous les nombres respectivement inférieurs à P, Q, R,..., on aura, par la théorie des combinaisons,

pour le nombre des valeurs de e; et il est aisé de voir que toutes ces valeurs seront différentes entre elles relativement au module N.

En effet, soient, s’il est possible, deux valeurs

p QR H- q PR -+- r PQ -h ..., p' QR -+- q' PR + /'PQ

qui donneraient le même nombre e premier à N ; il faudrait que la différence

( p — p') QR -h (q — q') PR + (r — r') PQ + ..., fût divisible par

N = PQR...

et je dis que cela est impossible, à moins qu’on n’ait p = p', q = q', r = r', etc.

Car si cette différence est divisible par PQR..., à plus forte raison le serat-elle par le facteur P ; mais tous les termes le sont par P, hors le premier \p — p’) QR; donc il faudrait que celui-ci le fût; maisQ, R,... sont premiers à P; donc il faudrait que p — p' fût divisible par P, ce qui ne se peut, puisque p et p' sont deux nombres différents inférieurs à P.

Ainsi les deux expressions précédentes ne peuvent donner le même nombre e, à moins qu’on n’ait p' = p; et, par une raison toute semblable, q' = q , r' = r, etc., auquel cas ces expressions se confondent.

Donc la formule

e = pQR -+- çPR -+- rPQ H-...,

en y prenant pour p un nombre inférieur et premier à P, pour q un nombre inférieur et premier à Q, etc., est l’expression générale des nombres e premiers à N = PQR..., et elle n’en donne qu’un nombre <p(P).9(Q).^(R)... de différents , comme cela doit être.