CHAPITRE III
Démonstrations nouvelles tirées de la considération de l’ordre.
Il semble que les démonstrations précédentes sur les premières propriétés des nombres soient aussi simples qu’on puisse le désirer. Elles rattachent les théorèmes à quelques principes élémentaires, et elles en font voir en quelque sorte la liaison et la dépendance mutuelle. Cependant il faut convenir que l’esprit n’est pas encore conduit dans cette matière par’ une analyse bien directe, et qu’on ne voit pas ce qui a pu donner l’idée de ces théorèmes qui paraissent si curieux et si importants dans la théorie des nombres. Sans doute la considération des restes que donne la division des puissances successives d’un nombre par un même diviseur premier se présente assez naturellement en arithmétique, et c’est par là que les géomètres paraissent avoir commencé cette première partie de la théorie des nombres. Mais il me semble que ces théorèmes ont une source plus profonde dans la science des mathématiques, et qu’ils doivent tenir à des principes d’un ordre plus élevé, de manière à ce qu’on voie que ce n’est point par hasard que l’esprit s’est attaché à ces spéculations, qu’elles ne sont point de pure curiosité, mais puisées dans la nature même des choses, et qu’elles forment une partie fondamentale de la science mathématique considérée de la manière la plus générale: et, pour en donner une idée, je vais présenter de nouvelles démonstrations, uniquement tirées de la considération de Y ordre qu’on peut observer actuellement entre plusieurs objets.
1. Considérons donc plusieurs objets a , b , c, d, e, etc., situés d’une manière quelconque dans l’espace, et regardons-les d’abord dans un
certain ordre tel que celui-ci : a , b , c, d, e, etc., de manière qu’après a vienne b, ensuite c, ensuite d , etc. : et comme ici nous n’avons en vue que le nombre et l’ordre, supposons que tous ces objets soient égaux, à égales distances l’un de l’autre, et simplement représentés par N points a, b, c, d , etc., rangés en cercle, et formant ainsi les sommets d’un polygone régulier de N côtés.
Cela posé, si à partir de l’un d’eux, comme du point a par exemple, on va de l’un à l’autre en les prenant successivement de 2 en 2 , ou de 3 en 3, ou en général de h en //, et que cet intervalle constant h par lequel on saute soit premier à N, je dis qu’on passera nécessairement par tous les points a , b , c, d , etc., avant de revenir au point a d’ou l'on est parti.
En effet, supposons qu’on ne passe que par une partie de ces Fi points ou sommets , c’est-à-dire par un nombre n d’entre eux, 11 étant inférieur à N; on aurait donc formé un polygone régulier de n côtés, et dont chaque côté répondrait à un nombre h de côtés consécutifs sur le premier polygone. En suivant le contour entier de ce polygone, ce qui vous fera faire une ou plusieurs fois le tour du cercle, vous pourriez donc compter un nombre nh de points sur la route parcourue; et comme vous êtes revenu au point de départ, par hypothèse, vous auriez ainsi ce nombre nh égal à un multiple exact îles N points de la circonférence entière. Ainsi il faudrait que nh fût un multiple de N ; mais h est premier à N et n est inférieur à N ; donc le produit nh n’est pas divisible par N, et par conséquent n’en peut être un multiple.
Donc, pour que le produit nh soit un multiple exact de N, tel que </N. il faut nécessairement que n soit égal à N, et alors il s’ensuit que 7 est égal à h. D’ou l’on conclut ce théorème :
Si l’on a N points rangés en cercle, et (/non les joigne de h en h, h étant premier à N, on passe nécessairement par tous les N points avant de retomber sur le point de départ ; et bon Jait nécessairement h fois le tour entier de, la circonjérence.
*1 Réciproquement, si en joignant N points de h en h, on passe par tous ces points avant rie revenir au premier, h sera nécessairement premier à N. Car alors h 11e pourra mesurer exactement de multiple de N, qui soit moindre que h x N; et par conséquent la plus grande
aliquote de h qui puisse mesurer N, sera l’aliquote ~ ou l’unité; et
par conséquent h et N seront premiers entre eux.
Si donc en joignant ainsi plusieurs points par des intervalles quelconques égaux, on ne peut jamais revenir au premier sans avoir passé par tous les autres, on peut assurer que tous ces points sont en nombre premier absolument: ce qui donne une espèce de définition géométrique d’un nombre premier.
5. Si h et N ne sont pas premiers entre eux, je dis qu’en joignant
les N points de h en h, on ne passera que par - d’entre eux ; 0 étant
le plus grand commun diviseur des deux nombres h et N.
Il est bien aisé de déduire cette proposition de la première, où h et N sont premiers entre eux; mais on peut aussi la démontrer directement de la manière suivante, et comprendre ainsi en un seul les deux théorèmes dont il s’agit.
Démonstration. Portez h sur la circonférence N jusqu’à ce que vous reveniez au point de départ (ce qui ne peut jamais manquer d’arriver après avoir fait h fois le tour du cercle au plus); vous aurez donc fait un certain nombre de fois q, le tour de la circonférence, et vous aurez le plus petit multiple que vous puissiez mesurer par le nombre b;
donc la plus grande aliquote de h qui pourra mesurer N sera -5 et par
conséquent - sera égal au plus grand commun diviseur de h et de N; de sorte qu’on aura
Or, si l’on désigne par x le nombre des côtés h du polygone qu’on aura formé , lequel nombre x marquera aussi celui des sommets ou points par lesquels on aura passé, on aura évidemment le produit xh égal au multiple <7 N de la circonférence N : ce qui donne, à cause de q
égal à
et par conséquent,
Ainsi l’on ne passera que par un nombre x de points marqué par et l’on aura fait le tour entier de la circonférence un nombre de fois a , marqué par ce quil fallait démontrer.
4. Cette démonstration est générale pour deux nombres quelconques h et N. Si leur plus grand commun diviseur 0 est égal à l’unité, les deux nombres sont premiers entre eux , et alors, à cause de 0 — i , onax = N, et q = h; ce qui redonne, comme conséquence, le premier théorème qu’on avait démontré.
5. On peut remarquer encore que cette démonstration ne suppose aucune propriété des nombres ni aucun théorème d’arithmétique , pas même cette théorie du plus grand commun diviseur que nous devons a Euclide. Elle donnerait même, au besoin, pour la recherche de ce commun diviseur, une règle nouvelle qu’on pourrait suivre en arithmétique et en géométrie, et qui ne paraît pas moins élégante.
Reg/e nouvelle pour trouver la plus grande commune mesure de deux grandeurs, ou le plus grand commun diviseur de deux nombres donnés.
R. Soit à trouver la plus grande commune mesure de deux grandeurs A et B; portez l’une d’elles A sur l’autre B, et si elle y est contenue exactement un certain nombre de fois, la grandeur A sera ellemême la commune mesure. Mais s’il y a un reste, au lieu de prendre ce reste et de le porter sur la première A, comme on le fait ordinairement, portez toujours la même grandeur A, non plus sur la grandeur simple B, mais sur le double de B; s’il n’y a pas de reste, la moitié de la première A mesure la seconde B, et c’est la plus grande commune mesure. S’il y a encore un reste, continuez toujours de porter A, mais sur le triple 3 B de la seconde B; si elle y tombe un nombre exact de fois, le tiers de A sera la commune mesure de A et B, et ainsi de suite : de sorte que si la première grandeur A ne commence à mesurer juste que le multiple /wB delà seconde, ~ sera nécessairement la
plus grande commune mesure des deux grandeurs A et B.
Et, en effet, s’il y avait une autre aliquote de A qui pût mesurer B,
telle que i’aliquote — » et qui fût plus grande que — » ce qui donnerait
///' < m; alors, comme — mesurerait R, il est évident que A mesurerait
exactement m! R, et par conséquent un multiple de B, plus petit que le multiple mB : or cela ne se peut, puisque /?/B est le premier, et parconséquent le plus petit multiple de B que vous ayez pu mesurer parla grandeur A. Donc ^ est la plus grande commune mesure 0 des deux grandeurs A et B.
Si , au lieu de prendre la grandeur A pour la porter sur B, on prend B pour la porter sur A, ou 2A, ou 3A, ou etc., jusqu’à ce qu’on rencontre le plus petit multiple n A que B mesure exactement, on aura
de même - pour la plus grande commune mesure des deux grandeurs
proposées.
D’où l’on voit, en comparant ceite seconde expression à la première, que le rapport ^ sera exprimé par la fraction fraction qui se trouvera toute réduite à sa plus simple expression.
7. En opérant sur les nombres, on diviserait le nombre B par A, 011 aurait un certain quotient et un reste; on ajouterait à ce reste le dividende B, et l’on continuerait de diviser par A, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvînt à une division sans reste; alors on diviserait A par le
nombre m de divisions effectuées, et — serait la plus grande partie
de A capable de mesurer B, ou le plus grand commun diviseur des deux nombres A et B. Mais le procédé serait plus long que par la méthode ordinaire.
8. En Géométrie, on prendrait une ligne indéfinie sur laquelle on porterait successivement des parties égales à l’une B des deux lignes données; on porterait ensuite l’autre ligne A, à partir d’un point de division , jusqu’à ce qu’on retombât sur un autre point de division, et
si cela arrivait après avoir mesuré la longueur m B, — serait la commune mesure.
5o RÉFLEXIONS
(=y Mais comme il faut toujours ajouter la ligne B à elle-même, ou prendre sur une ligne indéfinie tous les multiples de B, il est bien plus clair et plus simple de représenter la ligne B par une ligne fermée rentrante sur elle-même, telle, par exemple, que la circonférence d’un cercle; ou, si B marque un nombre, de le représenter par B points rangés régulièrement sur cette circonférence; alors on trouve sur la même figure finie, l’infinité des multiples de cette ligne, ou de ce nombre, en faisant toujours le tour du même cercle. Ainsi l’on portera la longueur ou le nombre A sur la circonférence B, à partir d’un point quelconque, jusqu’à ce qu’on revienne au point de départ; alors on aura fait un certain nombre m de fois le tour de la circonférence, et l’on aura le plus petit multiple ;«B qu’on puisse mesurer par la grandeur A ; et par
conséquent, on aura — pour la plus grande commune mesure de A
et B.
De cette manière, l’opération est plus simple que l’opération ordinaire; car, suivant le procédé connu, il faut porter A sur B, et puis le reste r sur A, et puis le nouveau reste r' sur le précédent r, et puis r" sur r', et ainsi de suite ; mais ici vous portez toujours la même grandeur A sur la même grandeur B, rentrante en elle-même, jusqu’à ce que vous retombiez au point de départ, ce qui ne fait qu’une seide et même opération. Il ne s’agit donc que de compter combien de fois vous avez fait le tour de B, et, si ce nombre est m, la m,cme partie de A est la plus grande commune mesure. Si l’opération n’a pas de fin, les deux grandeurs sont incommensurables.
Mais je passe à d’autres propriétés des nombres, toujours déduites de la simple considération de l'ordre.
10. Et d’abord, ce théorème d’Euclide, rappelé au n° (i du chapitre précédent, peut se voir de la manière la plus évidente.
Car soient toujours nos N points rangés en cercle dans l’ordre a, b , c , rl, e , etc.; si, à partir de l’un d’eux, vous prenez ces points en les joignant de a en a, a étant un nombre inférieur et premier à N, vous passerez, comme on l’a dit, par tous les autres, et vous formerez ainsi un nouveau polygone régulier de N côtés. Actuellement, si dans ce nouveau polygone vous prenez les points de ë en £, é étant aussi pre-
SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 5i
mier à N, vous aurez un troisième polygone de N côtés. Or il est évident que prendre d’abord les sommets de a en a, et ensuite, dans le polygone qui en résulte, les prendre de ê en ë, revient au même que de prendre tout d’un coup les sommets de aë en aë dans le premier polygone qu’on a considéré. Donc, puisqu’en prenant de aë en aë, on passe par tous les N points, il s’ensuit, n°2, que le produit aë est un nombre premier à N. On a donc ce principe fondamental dans la théorie des nombres : Si deux nombres a. et ë sont premiers à un troisième nombre N, leur produit aë est aussi premier à ce troisième. D’où l’on peut tirer cette suite de conséquences :
Que tant de nombres qu’on voudra, premiers à un autre nombre N, donnent leur produit aussi premier par rapport à ce nombre N ;
Que a étant premier à N. toutes les puissances a2, a3, a4, etc., sont aussi premières à N ;
Qu’un nombre quelconque N ne peut se résoudre que d’une seule maniéré en facteurs premiers;
Que les racines des puissances imparfaites ne peuvent être exprimées par des fractions, et que, par conséquent, elles sont incommensurables avec l’unité; etc., etc.
