Le théorème général d’Euler, exprimé par l’équation

xn - i = orcN,

où n marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers a N , et 3TvN un multiple quelconque de N, peut aussi se démontrer d’une manière simple et lumineuse par cette même considération de l’ordre.

Car soient N points a , b , c, d, e, J, g , etc., ro, rangés en cercle et formant ainsi les sommets d’un polygone régulier de N côtés, et supposons que x désigne un nombre quelconque inférieur et premier a N. Prenez ces sommets à partir de l’un quelconque d’entre eux , en les joignant de x en x , ce qui vous donnera un second polygone régulier de N côtés. De ce second polygone tirez-en un troisième, en y prenant encore les lettres de x en x\ et de celui-ci, par la même loi, un quatrième, et ainsi de suite, jusqu’à ce que vous retombiez sur le premier polygone d’où vous êtes parti; vous aurez formé ainsi un certain nombre n' de polygones tous differents. Or, ou ces polygones feront

tous ceux qu on peut former en joignant les sommets par tous les intervalles possibles inférieurs et premiers à N, et alors on aura

ou bien ils n’en feront qu’une partie, et alors je dis que cette partie sera une aliquote de n , de sorte qu’on aura

En effet, prenez un des n polygones qui n’existe pas dans le groupe des n' polygones différents que vous avez formés, et tirez-en, par la même loi que tout à l’heure, n' polygones réguliers; il est clair d’abord qu’ils seront tous différents entre eux; et ensuite, il est aisé de voir qu’ils seront tous différents des premiers, car si un seul polygone de ce second groupe pouvait revenir à l’un de ceux qui sont dans le premier, comme on déduit toujours par la même loi, le groupe entier reviendrait nécessairement au premier, ce qui est impossible puisqu’on y part d’un polygone qui n’est point dans le premier groupe par hypothèse. On démontrera de même, s’il reste encore d’autres polygones réguliers, qu’il y en aura n' nouveaux, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il n’en reste plus. Et comme il n’y a en tout que n polygones différents de N côtés, il en résulte que le nombre n' de ceux qu’on assemble en prenant les sommets de x en x est nécessairement une partie aliquote du nombre n.

12. Or, il est évident que si dans un polygone on prend les som mets de x en x , et que dans le polygone qui en résulte, on prenne encore de x en x, et ainsi de suite, ce procédé revient au même que que si l’on tirait directement tous les polygones du seul premier, mais en y prenant les sommets: i° de x en x ; 2° de x 2 en x2 ; 3° de x3 en ,r3, etc., et enfin de x" en x" . Mais, par hypothèse, en prenant les sommets de x" en xn , on retombe sur le polygone même d’où l’on est parti comme si l’on y eût pris simplement les sommets de 1 en 1 ; donc l’intervalle xn par lequel on saute d’un point à l’autre, revient à l’unité relativement au nombre N, c’est-à-dire est égal à 1 plus un multiple de N ; de sorte que l’on a

Or. puisque xn revient à l’unité, il est évident qu’une puissance quelconque de xn revient aussi à l’unité; donc ( xn )° , ou xn, revient à i relativement à N, c’est-à-dire qu’on a toujours l’équation

xn — i = O^N,

quel que soit le nombre entier x premier à N ; ce quil fallait démontrer.

Ainsi l’on a de ce beau théorème une démonstration puisée dans les premiers principes de la chose, et rendue, pour ainsi dire, sensible par la considération des divers polygones réguliers d’un même nombre de côtés. Cette idée simple de passer, par la même loi, d’un polygone à l’autre, en y marchant toujours par le même intervalle, nous mène directement à l’idée des puissances , des résidus, des multiples racines de l’unité, etc. D’où il paraît, comme je l’ai déjà remarqué dans d’autres Mémoires, que la théorie de l’ordre est la source naturelle des propriétés des nombres, et des principes fondamentaux de l’analyse : vérités qui recevront sans cesse un plus grand jour.

13. En attendant, nous pouvons encore démontrer de la même manière que si a, b, c , d, etc., N — i sont les n nombres inférieurs et premiers à un nombre quelconque N, l’un ou l’autre des deux nombres

i .a. b c .d etc. N — 1 ±l i est toujours divisible par N.

En effet , soient N lettres rangées en cercle et marquant les angles d’un polygone régulier de N côtés. Prenez les angles de a en a, et comme a est premier à N, vous formerez un second polygone régulier de N côtés. Actuellement , dans ce second polygone:, il est évident que vous pouvez prendre les lettres de x en x, de manière à retomber sur le premier polygone; mais, par ces deux opérations, vous aurez pris les lettres de ax en ax; donc, puisque vous retombez sur le premier polygone, prendre les lettres de ax en ax revient à les prendre de i en i .

Donc, si a est premier à N, il y a toujours un autre nombre x aussi premier à N et qui est tel que

ax = SU'N h- i .

14. Mais il peut arriver que le nombre x soit encore le même que a , alors on aurait

Dans ce cas, prenez les lettres de a en a, comme ci-dessus; mais dans le second polygone qui en résulte, au lieu de les prendre encore de a en a pour retomber sur le premier, prenez de N — a en N — a, et vous retomberez sur le premier polygone renversé, et par conséquent, vous aurez le produit a (N — ci) qui reviendra à — i, c’est-à-dire qu’on aura

a x N — a — 3TlN — i .

Donc, dans tous les cas, les nombres

i, a, b, c, d , etc., N — i

peuvent toujours s associer deux à deux de manière que leur produit revienne à ± i ; donc aussi le produit total a.b.c.d etc. N — x reviendra nécessairement à ± i , c’est-à-dire sera de la forme 31LN ± i ; ce <juil Jallail démontrer.

lb. Quand N est un nombre premier p ou une puissance mlime d’un nombre premier p supérieur à 2 , vous ne pouvez jamais trouver que les nombres 1 et N — 1 qui soient tels que leurs carrés reviennent à l’unité; sans quoi vous auriez

divisible de plus de deux manières par p ou p'n, ce qui ne se peut, puisque, x -t- 1 et x — 1 ne pouvant avoir au plus que le commun diviseur 2, vous ne pouvez rendre le produit de ces binômes divisible par p ou pm qu’en faisant, ou x + 1 = «7ILN, ou x — 1 = 31^N, ce qui 11e peut donner que deux valeurs de x au-dessous de N : ainsi, quand N = p ou p'n , on a l’équation

a.b.c.d... = 3TLN -1- 1,

puisque ces nombres a , ô, c, etc., s’associent toujours deux à deux, de manière que le produit revient à -t- 1 ; donc, en multipliant par 1 el

N — i , on aura

i .a.b.c.d... N - i = Oîl^N - i , ou

i .a.b.c.d... N — i + i = 31VN.

On ferait voir la même chose pour le cas de N = (p étant > ->).

Solutions nouvelles de l’équation indéterminée du premier degré à deux inconnues.

16. De cette même considération de l’ordre on peut tirer une solution nouvelle, et en quelque sorte géométrique, de l’équation indéterminée du premier degré à deux inconnues x et y. Cette solution n’est, en effet, qu’un corollaire delà proposition énoncée plus haut à la fin du n° 13, mais il n’est pas inutile d’en présenter ici la démonstration expresse.

La forme générale de l’équation indéterminée dont il s’agit est, comme on sait,

Lx — Mj = N,

où l’on doit supposer les deux coefficients L et M premiers entre eux ; car s’ils avaient un commun diviseur 0 autre que l’unité, il faudrait que N fut aussi divisible par 9, sans quoi l’équation serait évidemment impossible en nombres entiers x et j\ Si donc l’équation est possible, le plus grand commun diviseur des deux coefficients de x et y divise toute l’équation; de sorte qu’en le supprimant, on a une autre équation équivalente où les nouveaux coefficients L et M sont premiers entre eux. Il suffit même de résoudre la simple équation

Lx — My = i ,

parce que si l’on en trouve les racines x et y, on n’aura qu’à les multiplier par N, ce qui donnera Nx et îty* pour les racines de la proposée.

Première solution.