Soit donc à résoudre l’équation indéterminée

Lx — Mj" = x ,

et supposons, par exemple, qu’on veuille avoir d’abord la valeur de x

•le prends une suite de points

en nombre M coefficient de l’autre inconnue y\ et, à partir du premier point a, je joins ces points, non pas de suite, mais en sautant de 1 un à 1 autre par 1 intervalle constant L qui est le coefficient de x ; et comme L est premier à M par hypothèse, je passe nécessairement par tous les points avant de retomber sur le point de départ, et je forme ainsi un nouvel ordre ou polygone du même nombre M de sommets. Or, si dans ce nouvel ordre je joignais les points en allant de l’un a 1 autre par l’intervalle X qui y sépare a de />, il est clair que je retomberais sur le premier ordre a b cde J..., comme si dans ce premier ordre j’avais pris simplement les points de suite ou de i en i . Donc , puisque la double opération d’aller de L en L dans le premier ordre, et puis de X en X dans le second, revient à marcher tout d’un coup de LX en LX, le produit LX revient à l’unité relativement au nombre M, c'est-à-dire qu’on a

LX = i plus un cet tain multiple de M, et par conséquent

pour la plus petite valeur de x qui satisfasse à là proposée; et de là on tirerait sur-le-champ

LX — i

y = -if- = v-

pour la plus petite valeur p. de y, conjuguée à cette valeur X de x.

Au reste, il est clair qu'on pourrait trouver la valeur de y aussi directement que celle de x , en considérant un polygone de L sommets a b c d... «, et les joignant de M en M coefficient de y, ce qui donnerait un nouvel ordre de ces L sommets. Car, dans ce nouvel ordre, si l’on prenait l’intervalle p. qui y sépare a , non pas de b qui suivait a dans l’ordre primitif, mais de a> qui l’y précédait, il est clair qu’on retomberait sur le polygone renversé a «... e d c b , comme si l’on avait marché de — i en — i dans, l’ordre primitif. Donc p. sera la plus

petite valeur de y qui résoudrait l’équation

My — Læ = — i , et par conséquent l’équation

Lx — M y — i ,

qui est la proposée même.

Connaissant les deux plus petits nombres X et p. qui satisfont ensemble à la proposée , on aura , pour toutes les autres valeurs possibles de x et y qui jouissent de la même propriété,

i étant un nombre entier quelconque , positif ou négatif, mais qu’on doit toujours prendre le même dans les deux expressions.

Exemple.

18. Pour éclaircir la règle par une application très-simple, soit, par exemple, à résoudre l’équation indéterminée

îix — 7/ = U

je prends 7 points dans Tordre

ef de cet ordre, en y allant de 12 en 12, ou, ce qui revient au même, de 5 en 5 (à cause de 12 = 5 à un multiple près de 7), je tire Tordre nouveau

■V. WW , .1 :

ou je vois que l’intervalle qui sépare a de b est 3; que par conséquent le plus petit nombre x qui satisfait à la proposée est x = 3 : et de là , par la proposée même, je tirerais tout de suite/1 = 5 pour la plus petite valeur de y conjuguée a la valeur de x.

Si Ton avait voulu trouver directement /, on aurait pris une suite de points

au nombre de 1 2, coefficient de l’autre inconnue x'7 et, les joignant de 7 en 7, on aurait trouvé l’ordre nouveau

ahckemgbidlj ,

où l’on voit que la distance qui sépare ax non pas de b qui le suivait dans l’ordre primitif, mais bien de m qui l’y précédait, est égale au nombre 5 : d’où résulte y — 5 pour la plus petite valeur de y qui résoudrait l’équation

ou, en changeant les signes,

qui est la proposée même.

On peut faire d’autres exemples, et l’on trouvera que la méthode est assez prompte, pourvu qu’un des deux coefficients L et M soit un nombre peu considérable. Car, en se bornant alors à ne chercher, par cette voie, que l’inconnue affectée du grand coefficient, on n’aura besoin de marquer des points a , b, c,..., w, qu’en nombre égal au plus petit, ce qui fera connaître la première inconnue; après quoi l’on pourra tirer l'autre de l’équation même. Mais si les coefficients étaient tous deux un peu grands, il faudrait ranger par ordre beaucoup de points a, b , c, d , e,..., w, ce qui serait long et fastidieux, ou même impraticable. Toutefois la solution n’en est pas moins curieuse dans la théorie, par les rapprochements qu’on en peut faire avec les solutions arithmétiques déjà connues.

Seconde solution.

19. Au reste, on peut encore déduire du théorème donné au n° 1 1 , une nouvelle solution de l’équation indéterminée

L jc — M y = t .

Car, dans le polygone de M côtés, joignez les sommets de L en L, ce qui donne un deuxième polygone: dans celui-ci, joignez encore de L en L, ce qui donnera un troisième polygone; et continuez ainsi jusqu’à l’opération mtème qui vous fera retomber sur le polygone primitif.

SUR LA THÉORIE DES NOMRRES. 5q

Comme le résultat de ces m opérations sera le même que si vous aviez marché tout d’un coup de Lm en Lm, il s’ensuit que l’ihtervalle Lm revient à l’unité relativement à M. Donc, pour trouver x, au lieu d’écrire que Lx doit revenir à i, vous pouvez écrire que Lx doit revenir à Lm , et alors il est évident que x revient à Lm~L

Ainsi la plus petite valeur de x peut se trouver én formant le m—\ie,ne polygone dérivé, y prenant deux sommets consécutifs, et regardant à quelle distance ces deux sommets se trouvent l’un de Tautre dans le polygone primitif; cette distance sera le nombre cherché x.

Voilà donc, en apparence, une seconde solution géométrique de l’équation indéterminée

Lx — M y — i ;

mais il est aisé de voir que cette solution (abrégée comme elle peut l’ètre) ne diffère point de celle qu’on a donnée plus haut. Car ici le polygone primitif pouvant être regardé comme étant le mlème dérivé, et par conséquent comme celui qui vient après le m — iierne, il est clair que les deux polygones qu’on emploie ici pour avoir x sont deux polygones dérivés consécutifs. Or, puisque tous nos polygones naissent l’un de l’autre par la même loi , on peut employer de même deux autres polygones consécutifs quelconques , tels que le premier et le second ; ce qui nous ramène précisément à la solution géométrique du n° i 7.