Mais, en arithmétique, l’expression

ryt — T 1TI— i

nous donne cette règle nouvelle pour trouver x : Faites les puissances successives L, L2, L3, etc. , en rabaissant à mesure au-dessous de M par la division, et continuez ainsi jusqu’à ce que vous trouviez le reste i; le reste précédent sera la plus petite valeur de x qui résout la proposée

Lx — My = i .

Quant à cette puissance m jusqu’à laquelle il faudra monter pour obtenir Lm = i , elle dépend des nombres M et L. Si l’on désigne par ju. le nombre qui marque combien il y a de nombres L inférieurs et premiers à M. on peut dire, en général, que m sera toujours une

aliquote du nombre p , et cette aliquote ne pourra s’élever jusqu’au nombre p lui-mème que dans le cas où M serait un nombre premier, ou une puissance de nombre premier, ou le double d’une telle puissance; et, même dans ces cas, on n’aura ni = p que pour autant de nombres L qu’il y aura de nombres inférieurs et premiers à p. Dans tous les autres cas, m sera inférieur à p; il en sera tel ou tel sous-multiple, suivant la nature du nombre L comparé au module M.

On trouverait de même, pour l’expression directe de l’autre inconnue y,

l étant la puissance de M qui donnera M' = i , relativement au module L; etc., etc.