CHAPITRE IV

Théorie des équations binômes.

Je reviens ici à la théorie des équations binômes, et je vais chercher les propriétés de leurs racines par la forme même de ces équations.

Article Ier.

Des équations binômes rapportées à un module premier p.

t. Soit l’équation binôme indéterminée xn — i = 0\Lp, et désignons par r une quelconque des racines de cette équation.

Je dis d’abord qu’on ne peut avoir en même temps

rn — i -h Oïl p, et rh — i -t- ^p, à moins quon naît aussi

r6 = i -+- Oïlp,

Q étant le plus grand commun diviseur de n et h.

Car soit ? le reste de la division de n par h , de manière qu’on ait

, ->i ' (Il .1 Kl mou ■ 1 II Mt. : M . 1 ’ ' ’|É

n — hq -+- i ,

il est clair que des deux équations supposées, on tirerait

r* = i 4- 3ït p',

et, en effet, la première pourrait se mettre sous la forme rhg+i T 01 Lp, ou (r*)9 X r* = i -+- 31t^;

mais, à cause de la seconde équation

rh — i 4-

le facteur ( rh)q revient à r 4- 3ïUp; donc l’équation

( rh)q x r* = i 4- 31L p

reviendrait à

Mais, pareillement, des deux équations

rh = i 4- Nip, et r' = i 4- 31 t p,

on tirerait

/' étant le reste de la division de h par z, et ainsi de suite: d’où il résulte qu’on aurait enfin

re = i 4- 31L p ,

0 étant le plus grand commun diviseur de n et h.

Cette démonstration est tout à fait la même que celle qu’on ferait pour prouver que les deux binômes xn — x et x'1 — x ne peuvent avoir de commun diviseur plus élevé que le binôme xe — i, 0 étant le plus grand commun diviseur de n et h.

2. Si net h sont premiers entre eux, c’est-à-dire si 6 — r, les deux équations

xn — i = 31 tp, et xh — i = 3)1 p ,

ne peuvent avoir d’autre racine commune que l’unité.

Mais, en vertu du théorème de Fermât, l’équation

XP~' — I = 31 bp

a toujours p — i racines entières inférieures à p, et ces racines font ainsi tous les nombres de la suite naturelle i, 2, 3, 4> 5,..., p — 1. Donc aucune équation

x“ — 1 = Jli p

ne peut avoir de racines entières autres que l’unité, à moins qu’il n’y ait entre n et p — 1 un commun diviseur Q autre que l’unité.

5. Si n est premier à p — 1, xn — 1 = ^p n’a donc aucune autre racine réelle que l’unité.

Si entre n et p — 1, il y a le plus grand commun diviseur 6 > 1 , xn — r = p aura nécessairement, parmi les nombres 1, 2, 3, 4> S,..., p — 1, 6 racines réelles. Car le binôme .r® — i sera un diviseur rationnel de x{,~' — 1 , et par conséquent sera divisible par p pour $ valeurs de x inférieures à p.

Lors donc que l’on considéré une équation binôme indéterminée

xn — 1 = 3ÎL p,

il n’y a pas d’autres racines réelles à chercher que celles qui conviennent à

Xe — 1 = 3TLp,

5 étant le plus grand commun diviseur de n et p — 1 . 11 est donc mutile de considérer d’autres équations

xn — r = JlCp,

que celles ou l’exposant n est un diviseur de p — 1.

Si, par exemple, on proposait les équations

x' — 1 = i3, xi0 — 1 = 3TL i3, x'5 — r = jh, 1 3 , etc.,

cela reviendrait à proposer les équations respectives

x — 1 = >)TL i3, x2 — 1 = i3, x3 — 1 = 3rc r3, etc.,

car ces dernieres renferment les seules racines entières que puissent avoir les équations données.

4. Considérez les puissances successives r, r2, r *, r*,etc., de l’une

quelconque des racines / de l’équation

xn — i = 3ïip;

il est clair, par la forme meme de l’équation , que toutes ces puissances en seront aussi des racines : car si

rn = I H- OïLp,

on aura aussi

(r2)", ou (/’")2 = i -I- OïLp; (r3)", ou (rn)3 — i H- OïLp; et, en général,

(re)", ou (r")e = i -+- OïLp.

Or, actuellement, je dis que deux quelconques de ces puissances re , re ne pourront être équivalentes , c’est-à-dire donner un même reste relativement à p, à moins que la racine r qu’on aura employée ne soit en même temps racine d’une équation inférieure

xd — i = oïip,

d étant un diviseur de l’exposant n.

Et, en effet, soit e > e', e et e' étant d’ailleurs au-dessous de //. Si l’on avait

re — re __ 3H,p^

on en tirerait

r& (re e’ — ï) = Oïl p ;

mais le facteur re n’étant pas divisible par p, puisque r est premier à p , il faudrait que l’autre facteur re~e’ — i fût divisible par p, et partant, qu’on eût, en faisant e — e' = //,

rh — i =01 L p;

mais cette équation ne peut avoir lieu en même temps que la proposée, à moins que h n’ait un commun diviseur d avec n , et par conséquent à moins que r ne soit une racine de l’équation binôme de degré inférieur

Xd — l — 01 1p.

Article IL

Des racines primitives de l’équation x" — i = JR. p.