imaginez donc qu’on prenne pour r une racine de

x'1 — i = Oie p,

mais qui n’appartienne pas en même temps à une autre équation binôme

xd — i = arc p

de degré inférieur d , diviseur de n\ alors toutes les puissances r, r2, r3, / r", de cette racine r, seront différentes relativement à p, et par

conséquent cette racine r sera propre à former par ses puissances successives la suite complète de toutes les racines de la proposée. Ce sera ce qu’on peut appeler une racine primitive de l’équation

xn — i = OHp,

c’est-à-dire une racine uniquement propre à cette équation.

Si l’exposant n est un nombre premier, on voit tout de suite que cette racine primitive existe, et même que toutes les racines de

xn — \ = Ole p ,

autres que l’unité, sont des racines primitives : car aucune d’elles ne peut appartenir à aucune équation inférieure

xd — i = Wlp,

puisque n, étant premier, ne peut avoir d’autre diviseur r/que l’unité. G. Ainsi , quand n est un nombre premier, toutes les racines de

xn — i =

autres que l’unité, sont uniquement propres à cette équation, c’est-adire ne résolvent aucune équation binôme de degré inférieur à n; chacune d’elles, par ses puissances successives j, 2, 3, 4» 5, 6,..., n, fournit la suite complété de toutes les racines différentes de la proposée; elle ne donne l’unité qu’à la puissance nume ; après quoi toutes les racines reparaissent périodiquement dans le même ordre à l’infini.

Mais quand l’exposant n est un nombre composé, il n’y a plus qu’une partie des racines qui soient uniquement propres à l’équation

Xn — l =- 3TL p,

ou qui en soient des racines primitives; car les autres résolvent en même temps des équations binômes de degrés inférieurs marqués par les différents diviseurs de n ; de sorte que leurs puissances successives ramènent l’unité avant la puissance nlème, et ne peuvent ainsi former la suite complète des n racines différentes de la proposée.

De /'existence des racines primitives et de leur nombre.

7. Voyons donc d’abord si l’équation xn — \ = DTl p a toujours des racines primitives, quel que soit le nombre n, et combien il y a de ces racines.

Nous avons déjà remarqué que, pour un exposant a premier, il v a n — i racines primitives; et, en effet, l’exposant a n’ayant pas d’autre diviseur que l’unité, le binôme xa — i n’a pas d’autre diviseur binôme de degré inférieur, que le binôme x — i . Ainsi toutes les racines de

xu — i = i)ÏL p.

excepté la racine x= i, sont uniquement propres à cette équation, et, comme on l’a dit, en sont des racines primitives.

Si 1 on a n = a2, a étant toujours un nombre premier, l’exposant n n a pas au-dessous de lui de plus grand diviseur que a, et par conséquent, le binôme xa i na pas, au-dessous de lui, de diviseur binôme plus élevé que xn — i. En rejetant donc de la proposée les a racines de l’équation

Xa — l = OKp,

il en restera a2 ~ a qui seront uniquement propres à l’équation

xal - i = OTLp.

Si 1 on a n = a3 , on trouvera de même qu’en rejetant les a 2 racines de l’équation

xa'' — \ — 31L p ,

on aura rejeté toutes celles qui peuvent résoudre les équations binômes de degrés inférieurs, et que, par conséquent, il en reste a3 — a2 qui sont uniquement propres à la proposée

xa* — i = Ole p.

En général, soit n = ax, et par conséquent

Xa ' — I = OÏL p

l’équation proposée. Si l’on rejette les racines de l’équation binôme

xa*~l — i = OÏL p,

on aura rejeté toutes celles qui résolvent, en même temps que la proposée, des équations binômes de degrés inférieurs; et , par conséquent, les racines restantes, qui seront au nombre de a* — r?*— ', seront toutes des racines primitives.

Ainsi , pour un exposant n qui est une puissance quelconque a d’un nombre premier a, l’équation

xn — i = OlL p

a toujours des racines primitives; et le nombre en est a* — a*—1, ou a*-1 (a — i),

c’est-à-dire qu’il y en a autant que de nombres inférieurs et premiers à n (n° 7, chap. II).

S. Ce théorème est général pour un nombre quelconque n; et d’abord il serait bien facile de le reconnaître pour le cas de n = av Ifi, a et b étant deux nombres premiers quelconques. Car de l’équation

xaVb% - i = 31L p,

qui a un nombre de racines, imaginez qu’on rejette les a"—' bk

racines de l’équation inférieure

xa*~' fr€ — i = 3TL p,

et puis les arxb^—' racines de l’équation inférieure

xaX/,s~' — r = DILp;

il est évident qu’on aura rejeté toutes les racines qui peuvent résoudre des équations binômes de degrés inférieurs à la proposée et diviseurs de n. Ainsi l’on trouverait d’abord qu’il doit rester

ay° — a a~ 1 & ê — aabè~l

racines; mais ce nombre est trop faible: car, par la double opération précédente, il est clair qu’on a ôté deux fois les racines communes aux deux équations

xa*~ lb'J — 1 = DTip, xa'xbë~' — 1 =. ôK p ,

racines communes qui sont au nombre de a0'-—' b^~~' ; donc, au résultat précédent, il faut ajouter aa~ ' b^— *, et l’on trouve ainsi, pour le nombre des racines qui appartiennent uniquement à la proposée,

aKbè — arJ— 1 b° — aa bç,~K -+- n y-~l bë~ ',

ce qui se réduit à

aa-—'bz~l(a— 1) [l> — 1) ;

d’où l’on voit qu’il y a encore autant de racines primitives que de nombres inférieurs et premiers à n.

La même démonstration pourrait s’étendre au cas de n = a,J bÇj c'/. . . ; mais nous allons présenter la chose d’une manière plus claire, et qui peut même servir à trouver les racines primitives.

9. Soit donc, en général , n — a? bz C'... et l’équation binôme

xa**6c'/— — 1 = 3ï bp.

Je considère les équations

xaV — 1 = Oïl p, xl,rj — 1 = Dit p, xc/ — 1 = 3TL

et je suppose que x' soit une racine primitive de la première, x" une racine primitive de la seconde, x'" une racine primitive de la troisième, etc. ; alors je dis que le produit x' x" x'" ... est une racine primitive de la proposée. En effet, il est clair, en premier lieu, que ce produit est racine de l’équation

c'est-à-dire qu’étant élevé à la puissance n — a*bs c'y..., il donne j -4- 311p, ou simplement i, en négligeant les multiples de p. Mais, en second lieu, il est aisé de voir qu’il ne peut donner l’imité pour aucune puissance d inférieure à n: car si l’on avait

[x' x" x'" . . .)d =i -h OU p ,

l'exposant (/serait nécessairement diviseur de n (n° 4); mais d étant plus petit que n , il y a au moins quelque facteur simple de n, tel que a , je suppose, qui entre une fois de moins dans le nombre d que dans le nombre n-, ainsi (/serait diviseur derta 1 bec'/...-, donc, puisque x'x"x" ... élevé à la puissance d donne i , ce même produit à la puissance a*—' b6c y... qui est multiple de (/, donnerait aussi i ; donc on aurait

(x'x"xl"...)aa~,bèc'/— = I + 3tL p :

mais, à cause de

cette équation se réduit à

àtl

p , etc. ,

or, par hypothèse, on a

— i JR. p j

donc on aurait aussi, en prenant le commun diviseur aK~' des deux exposants de ces équations (n° 3),

donc x ‘ donnerait l’unité avant la puissance a*, et partant, ne serait pas racine primitive de l’équation

ce qui est contre l’hypothèse.

Donc le produit x'x"x"'... ne peut donner l’unité pour aucune puissance d inférieure à a* b°cï... ; donc il est racine primitive de l’équation proposée

( ’e (juil Jallait démontrer.

Ainsi donc, toute équation

X" — 1 3= DTl p *

a des racines primitives, et le nombre en est au moins égal à celui de tous les produits différents x' x" x" ... qu’on peut faire en combinant les racines primitives x', x ", x’",... des équations respectives

— l = OVL p,

1 = 3TI p , x

— Die ,

etc.

or, le nombre des racines primitives x' de la première équation est (a — 1); les racines primitives x" de la deuxième sont au nombre de b^-1 (b — 1); les racines primitives x"’ de la troisième sont au nombre de c*~l (c — 1), etc. : donc, par la théorie des combinaisons, les racines primitives de la proposée

x" — 1 = xaa’b<°cy-" — 1 = D'IL p sont au moins au nombre de

a*— 1 (a — i).bê~ 1 (b — 1 ).<?'/ — 1 [c — 1)...,

c’est-à-dire qu’il y en a au moins autant que de nombres inférieurs et premiers à n; et il est bien aisé de voir qu’il n’y en a pas davantage.

10. Au reste, dès qu’on suppose l’existence d’une seule racine primitive de

Ole

on peut démontrer tout de suite qu’il y en a précisément Je nombre qu’on vient de dire. Car, soit r cette racine primitive, et formez la suite des puissances

il est clair qu’011 aura la suite complète des n racines différentes de la proposée; or, si l’on considère un nombre quelconque e inférieur et premier à n, et qu’on prenne les racines dans cette même suite, en allant de l’un à l’autre de e en e; comme l’intervalle e par lequel on saute est premier à n , on sera obligé de passer par toutes les racines avant de revenir à la racine / d’où l’on est parti ; donc la suite

,-,(re)n

r% (re)2, (/■•)*, (/■*)*

nous donne aussi, aux multiples près de p, toutes les différentes racines de la proposée: donc re est aussi racine primitive.

Donc, si l’on suppose une seule racine primitive r de l’équation

xn — r = DlLp.

il s’ensuit qu’il y en a autant que de nombres e inférieurs et premiers à Et l’on voit en même temps qu’il n’y en a pas davantage: car si l’on va d’une racine à l’autre, par un intervalle constant h qui ait avec 11 un commun diviseur Q > i, on ne passera jamais que par un

nombre^ de ces racines; de sorte que rh ne peut jamais être racine primitive de

Xn — i = DÎL p.

Mais il est évident, par la même démonstration, que r'1 sera racine

primitive de l’équation inférieure

xH — i = Oïi p.

11. On voit ici se présenter tout naturellement l’idée et la raison du théorème établi au n° 18 du chapitre II, mais qui paraissait un peu isolé. En effet, je remarque que de toutes les racines de l’équation

xn — i = 3TLp,

il n’y en a pas une seule qui ne soit racine primitive, ou de la proposée, ou de quelque autre équation inférieure

xa — i = 3K- p,

H étant un diviseur de n. Car prenez au hasard une racine p de

x " — i = DTI p y

et faites-en les puissances successives p, p2, p 3, p4,..., vous tomberez nécessairement sur quelque puissance pd qui vous donnera l’unité relativement à p, et alors p sera racine primitive de l’équation

xd — t = D'IL p.

De plus, on voit que p ne peut être racine primitive d’aucune autre équation semblable d’un degré marqué par un autre diviseur de n. Or, cette équation

xd — i = DTLp

a autant de racines primitives qu’il y a de nombres inférieurs et premiers à //; donc, si l’on voulait compter combien il y a en tout de nombres inférieurs et premiers à chacun de tous les diviseurs possibles d d’un nombre donnée, sans excepter le diviseur i et le nombre n luimème, on trouverait qu’il y en a autant que l’équation

Xn — I = D\1 p

a de racines, c’est-à-dire précisément n. Ce qui est le théorème dont il s’agit.

12. Mais, réciproquement, de ce dernier théorème, qui est d’ailleurs démontré d’une manière directe, on peut conclure l’existence des racines primitives de toute équation

xn — 1 == 3iL/>-

Car, en considérant toutes les racines qui sont au nombre de//, s’il n’y en avait point de primitives, c’est-à-dire qui fussent uniquement propres à cette équation, il faudrait donc qu’elles fussent toutes des racines propres à des équations inférieures

xd — i .= ou p

dont les degrés seraient les différents diviseurs d de //, le nombre u étant excepté de ces diviseurs. Mais chaque équation

Xd — I = ÜÏLp

ne peut avoir plus de racines primitives qu’il n’y a de nombres inférieurs et premiers à d\ donc vous ne pourriez jamais compter plus de racines différentes qu’il n’y a de nombres inférieurs et premiers à chacun des diviseurs de n, le nombre n étant excepté; or cela ferait nécessairement un nombre moindre que n, puisque vous n’en trouveriez que n, en n’omettant aucun diviseur. Donc, puisque l’équation

Xn — I = 3K-p

a n racines, vous ne pouvez pas supposer quelles appartiennent toutes à des équations binômes de degrés inférieurs d diviseurs de n ; donc il y en a quelques-unes qui appartiennent uniquement à l’équation

Xn — I — DXL p ,

et des qu’on en suppose une seule, il est clair )n° 10) qu’il y en a autant que de nombres inférieurs et premiers à n.

13 On voit donc par là , de la manière la plus simple et la plus lumineuse, que toute équation

xn — i = D\Lp

a des racines primitives; qu’une quelconque de ces racines étant nommée r, toutes les autres sont exprimées par / % re' , re les exposants e, e ', e",... étant, après l’unité, tous les nombres inférieurs et premiers a n; enfin, que toute puissance rh d’exposant h non premier avec n, est simplement une racine primitive de l’équation inférieure

Q étant le plus grand commun diviseur de h et n.

14 Si le nombre n diviseur de p — i est le nombre p — i luimême , on a l’équation xp~{ — i = àl Lp, qui répond au théorème de Fermât , et dont les racines primitives s’appellent simplement les racines primitives du nombre premier/?.

Comme cette équation renferme toutes les équations semblables

xn — i = .')tl p,

où n est une aliquote de p — i , il s’ensuit qu’il suffit de connaître une seule racine primitive de /?, non-seulement pour avoir toutes les autres, comme on vient de. le voir, mais encore pour avoir les racines primitives des équations

d’un degré n diviseur de p — i .

F^t. en effet . soit n une racine primitive de

xp~{ — i = et faisons = h.

il est évident que r = ah sera une racine primitive de l’équation

Xn — I = 37L p ;

et de cette racine on conclura toutes les autres.

Article III.

Méthode assez simple pour trouver les racines primitives d’un nombre premier donné.

15. Quant à la manière de trouver les racines primitives d’un nombre premier donné, voici, je crois, la règle la plus simple, et que j’expliquerai d’abord sur un exemple. Supposons qu’il s’agisse, entre autres, du nombre premier p — 61.

Comme le nombre inférieur p ~ i, qui est ici 60, a pour facteurs simples 2, 3 et 5, je remarque que les racines primitives de 61, ou de l’équation

xG0 — 1 = 3JLÔI ,

ne peuvent être ni des carrés, ni des cubes , ni des cinquièmes puissances. Car, à cause des diviseurs simples 2, 3 et 5 du nombre 60, les carrés étant élevés aux puissances successives 1, 2, 3, 4? etc., ramèneraient l’unité au moins dès la trentième puissance; les cubes la ramèneraient au moins dès la vingtième, et les autres dès la douzième. Ainsi, pour avoir les racines primitives de 61 , c’est-à-dire les nombres qui 11e peuvent ramener l’unité avant la soixantième puissance, il suffit d'exclure des soixante nombres de la suite naturelle

1, 2, 3, 4» 3, 6, 7, S, 9, etc., 60,

tous ceux qui sont des carrés, des cubes et des cinquièmes puissances, ou plutôt des résidus de ces puissances par rapport à 61. Or, au moyen des carrés, on exclut d’abord la moitié de tous les nombres; au moyen des cubes de ceux qui restent, on en exclut le tiers ; et parles cinquièmes puissances de ceux qui restent, on en rejette encore le cinquième , et il ne reste plus que les seize racines primitives de 61.

Et il est évident qu’il en serait de même pour un nombre premier quelconque p , en excluant des p — 1 nombres 1. 2, 3, 4» 3, 6, 7. etc., p — 1, les puissances marquées par les facteurs simples 2, a , h. c, etc., du nombre composé p — 1. D’où l’on voit encore pourquoi il y a précisément autant de ces racines primitives qu i! y a de nombres inférieurs et premiers 'dp — 1 .

Cette règle nous paraît facile, et, dans l'application . on peut diriger

le calcul de maniéré à ne pas faire plus d’opérations qu’il n’y a de nombres à exclure.

16. Soit, par exemple, à trouver les racines primitives du nombre premier 3 1 .

On voit d’abord qu’il suffit de faire les quinze carrés des nombres i,a, 3, 4> etc., i5: car les autres reviendraient à ceux de — i , — 2, — 3, etc., — i5, qui donneraient les mêmes carrés.

Supprimant donc dans la suite des trente nombres i, 2, 3, 4> o, etc., 3o, les quinze nombres qui sont des carrés, il reste les quinze non carrés, dont il faut faire à présent les cubes.

Mais, comme on ne doit trouver que cinq cubes différents, on peut viter les opérations inutiles, en rangeant d’abord les quinze non résidus dans l’ordre où ils suivraient une même raison géométrique. Qu’on prenne, par exemple, la raison 2, et les quinze non résidus pourront s’ordonner de cette manière :

où ces non-résidus se trouvent distribués en trois groupes de cinq

termes en progression géométrique, et dont les cubes sont :

c’est-à-dire les mêmes pour chaque groupe.

Il suffit donc de former les cinq cubes des nombres contenus dans un quelconque des trois groupes.

En supprimant ces cubes, il reste pour les nombres qui ne sont ni carrés, ni cubes,

Si l’on en fait les cinquièmes puissances , on trouve

26, 26, 26, 26, 26 | 6, 6, 6, fi, fi,

c’est-à-dire qu’il suffisait de faire la cinquième puissance d’un terme pris dans le premier groupe, et celle d’un terme pris dans le second. En effaçant ces deux puissances cinquièmes 26 et 6, il reste les huit racines primitives de 3i , savoir:

17. Dans les Nouveaux Commentaires de Saint - Péteisbout g (tome XVIII), Euler dit, en plusieurs endroits, qu’on ne voit encore aucun moyen de déterminer ces racines; que la démonstration qui prouve, dans tous les cas, leur existence, n’indique pourtant aucune méthode pour les découvrir : et ailleurs , on ne peut, dit-il , saisir entre un nombre premier et les racines primitives qui lui appartiennent, aucune relation d’où l’on puisse déduire au moins une seule de ces racines ; de sorte que la loi qui règne entre elles paraît aussi profondément cachée que celle qui peut exister entre les nombres premiers eux-mêmes.

Il nous semble que la méthode précédente ne laisse plus rien à désirer à cet égard. Car on ne peut chercher séparément aucune de ces racines, puisqu’elles jouissent de propriétés semblables, et qu’on ne peut concevoir aucune méthode qui conduise à l’une plutôt qu’à l’autre. Mais on les trouve toutes à la fois par cette opération arithmétique dont je viens de parler, et à peu près de la même manière qu’on obtiendrait tous les nombres inférieurs et premiers à un nombre donné. Or, il me semble qu’on n’a jamais trouvé qu’il y eût une difficulté particulière à déterminer actuellement ces derniers nombres. Quand on veut les avoir, on considère les facteurs simples du nombre donné; et de la suite naturelle 1, 2, 3, 4» 5, etc., on exclut tous les multiples de ces facteurs simples, ici, au lieu de ces multiples, il faut exclure toutes les puissances d’exposants marqués par ces mêmes facteurs : c’est, comme on voit, une opération du même genre, mais d’un ordre plus élevé.

Article IV.

Sur l’ordre naturel dans lequel doivent être rangées les racines des équations binômes.