IO RÉFLEXIONS

traduit et ne doit traduire, de l’énoncé du problème, que la seule partie qui fait une équation, et qui suffit pour déterminer l’inconnue. Elle abandonne tout le reste, comme ces rapporls vagues de majorité ou de minorité, qui ne peuvent servir à aucune détermination. Ainsi l’équation obtenue ne renferme rien des imperfections de notre énoncé, et elle devient la question même parfaitement posée. La multiplicité de ses racines nous avertit donc, non pas, comme on le croit d’ordinaire, qu’il faut étendre le premier énoncé pour en multiplier les divers sens ; mais qu’il faut, au contraire, le simplifier et le réduire, en y supprimant ce qu’on y avait mis de trop et qu’on n’était pas le maître d’y insérer. Et alors on peut voir qu’il n’y a précisément, dans l’équation algébrique, que la même multiplicité de solutions qu’on aurait pu reconnaître, sans algèbre, dans l’énoncé parfait du problème.

Telle est, je crois, la vraie nature de l’algèbre, et la vraie solution de la question philosophique que j’examine, et qui touche aux pre miers fondements de la science mathématique. Il ne s’agit pas de savoir s’il y a, ou non, une méthode générale pour résoudre les équations de tous les degrés: on n’en sait pas moins qu’une équation de degré supérieur a plusieurs racines, et la question était d’expliquer cette multiplicité , en montrant qu’elle est dans la nature même des choses, et que l’algèbre n’a pas plus de généralité qu’un bon raisonnement.

Mais il ne faut pas manquer de faire ici une observation essentielle: c’est que, à raison de l’ignorance et de la faiblesse de l’esprit humain, qui ne marche guère qu’à l’aide des images sensibles, ou des mots qui eux-mêmes ne répondent presque tous qu’à des images, l’algèbre nous a été et nous est encore d’un merveilleux secours. Car, comme elle n’exprime que les rapports qui déterminent, et qu’elle n’a point de signes pour les conditions vagues, il en résulte que, quelque imparfaits que soient nos énoncés, pourvu qu’ils renferment la loi de rapport qui fait le nœud du problème, l’équation que l’analyse en tire se trouve aussi parfaite que si elle provenait de l’énoncé le plus parfait ; et, sous ce point de vue, on peut dire que l’algèbre a étendu et perfectionné l’esprit humain.

On voit donc que ce qui nous resterait à faire aujourd’hui pour l’achèvement de la doctrine, ce serait de chercher et de montrer dans chaque problème comment l’esprit, à l’aide du seul raisonnement, au-

SUR LA THEORIE DES NOMRBES. i r

rait pu s’élever à cette généralité de vue dont il n’a été averti que par les signes de l’algèbre, et comment il aurait dû prévoir ces multiples solutions qui coexistent dans un même problème, et qu’aucun art ne peut séparer. C'est par cette étude attentive qu’il verra ce qui avait manqué jusqu’ici aux principes de son analyse logique. Il n’avait songé qu’aux rapports de grandeur, et il reconnaîtra qu’il fallait avant tout considérer le nombre et l’ordre des choses, indépendamment de toute idée de grandeur ou de quantité. Dans cette pure considération de l’ordre, où il verra que plusieurs ordres, qui lui paraissent différents, naissent pourtant l’un de l’autre par une seule et même loi, et se reproduisent sans cesse, quel que soit le premier ordre d’où l’on veuille partir, il trouvera l’origine naturelle des puissances , et la raison profonde de ces multiples racines de l’unité, qui ne sont point des valeurs, mais de simples signes d'ordre entre les choses que l’on considère. Par ces nouveaux principes il perfectionnera l’algèbre elle-même, et l’algèbre à son tour pourra jeter de nouvelles lumières sur la théorie des nombres.

De toutes ces réflexions, et d’une foule d’autres que je pourrais y ajouter, je conclus donc que les principes de l’algebre et de la théorie des nombres devraient être unis ensemble dans nos ouvrages élémentaires, comme ils sont inséparables par la nature même de ces deux sciences. Ainsi j’espère qu’on me pardonnera, et même qu’on me saura quelque gré de revenir sur ces principes fondamentaux, d’essayer de les rendre plus clairs et plus sensibles, et de faciliter ainsi aux jeunes géomètres une étude très-ardue, et en apparence très-stérile, mais en effet très-féconde, et peut-être, comme je l’ai dit, la seule d’où l’analyse mathématique puisse attendre aujourd’hui de véritables découvertes.